§4.2 直线、圆的位置关系 4.2.1 直线与圆的位置关系 学习目标 1.掌握直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离.2.会用代数法和几何法来判断直线与圆的三种位置关系.3.会用直线与圆的位置关系解决一些实际问题． 知识点 直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 2个 1个 0个 判断方法 几何法：设圆心到直线的距离为d＝ dr 代数法：由 消元得到一元二次方程，可得方程的判别式Δ Δ>0 Δ＝0 Δ<0 1．若直线与圆有公共点，则直线与圆相交．( × ) 2．如果直线与圆组成的方程组有解，则直线和圆相交或相切．( √ ) 3．若圆心到直线的距离大于半径，则直线与圆的方程联立消元后得到的一元二次方程无解．( √ ) 类型一 直线与圆的位置关系的判断 例1 求实数m的取值范围，使直线x－my＋3＝0与圆x2＋y2－6x＋5＝0分别满足：①相交；②相切；③相离． 解 圆的方程化为标准形式为(x－3)2＋y2＝4， 故圆心(3,0)到直线x－my＋3＝0的距离为d＝，圆的半径为r＝2. ①若相交，则d＜r，即＜2， 所以m＜－2或m＞2； ②若相切，则d＝r，即＝2，所以m＝±2； ③若相离，则d＞r，即＞2，所以－2＜m＜2. 反思与感悟 直线与圆的位置关系的判断方法 (1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断． (2)代数法：根据直线方程与圆的方程组成的方程组解的个数来判断． (3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断定点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系．但有一定的局限性，必须是过定点的直线系． 跟踪训练1 对任意的实数k，直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝2的位置关系一定是( ) A．相离 B．相切 C．相交但直线不过圆心 D．相交且直线过圆心 答案 C 解析 直线y＝kx＋1恒过定点(0,1)，由定点(0,1)在圆x2＋y2＝2内，则直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝2一定相交．又直线y＝kx＋1不过圆心(0,0)，则位置关系是相交但直线不过圆心，故选C. 类型二 切线问题 例2 过点A(4，－3)作圆(x－3)2＋(y－1)2＝1的切线，求此切线方程． 解 因为(4－3)2＋(－3－1)2＝17>1， 所以点A在圆外． ①若所求直线的斜率存在，设切线斜率为k， 则切线方程为y＋3＝k(x－4)，即kx－y－4k－3＝0. 设圆心为C， 因为圆心C(3,1)到切线的距离等于半径1， 所以＝1，即|k＋4|＝， 所以k2＋8k＋16＝k2＋1，解得k＝－. 所以切线方程为－x－y＋－3＝0， 即15x＋8y－36＝0. ②若直线斜率不存在， 圆心C(3,1)到直线x＝4的距离为1， 这时直线x＝4与圆相切，所以另一条切线方程为x＝4. 综上，所求切线方程为15x＋8y－36＝0或x＝4. 引申探究 若例2的条件不变，求其切线长． 解 因为圆心C的坐标为(3,1)， 设切点为B，则△ABC为直角三角形，|AC|＝＝， 又|BC|＝r＝1， 则|AB|＝＝＝4， 所以切线长为4. 反思与感悟 求过某一点的圆的切线方程，首先判定点与圆的位置关系，以确定切线的数目． (1)求过圆上一点P(x0，y0)的圆的切线方程：如果斜率存在且不为0，先求切点与圆心连线的斜率k，则由垂直关系，切线斜率为－，由点斜式方程可求得切线方程．如果k＝0或斜率不存在，则由图形可直接得切线方程为y＝y0或x＝x0. (2)求圆外一点P(x0，y0)的圆的切线时，常用几何方法求解： 设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y－kx0＋y0＝0，由圆心到直线的距离等于半径，可求得k，进而切线方程即可求出．但要注意，若求出的k值只有一个时，则另一条切线的斜率一定不存在，可由数形结合求出． 跟踪训练2 若点P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P处的切线方程为_____． 答案 x＋2y－5＝0 解析 点P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上，可得此圆的方程为x2＋y2＝5，所以该圆在点P处的切线方程为1×x＋2×y＝5，即x ... ...
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