第五节曲线与方程 1．曲线与方程 一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下关系： (1)曲线上点的坐标都是这个方程的解． (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线． 2．求动点轨迹方程的一般步骤 (1)建立适当的坐标系，用有序实数对(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标； (2)写出适合条件p的点M的集合P＝{M|p(M)}； (3)用坐标表示条件p(M)，列出方程f(x，y)＝0； (4)化方程f(x，y)＝0为最简形式； (5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上． 3．曲线的交点 设曲线C1的方程为F1(x，y)＝0，曲线C2的方程为F2(x，y)＝0，则C1，C2的交点坐标即为方程组的实数解． 若此方程组无解，则两曲线无交点． [小题体验] 1．如果曲线C上的点的坐标满足方程F(x，y)＝0，则下列说法正确的是( ) A．曲线C的方程是F(x，y)＝0 B．方程F(x，y)＝0的曲线是C C．坐标不满足方程F(x，y)＝0的点都不在曲线C上 D．坐标满足方程F(x，y)＝0的点都在曲线C上 解析：选C 原说法写成命题形式即“若点M(x，y)是曲线C上的点，则点M的坐标适合方程F(x，y)＝0”，其逆否命题是“若点M的坐标不适合方程F(x，y)＝0，则M点不在曲线C上”，此即说法C，故选C. 2．(教材习题改编)和点O(0,0)，A(c,0)距离的平方和为常数c的点的轨迹方程为_____． 解析：设点的坐标为(x，y)， 由题意知()2＋()2＝c， 即x2＋y2＋(x－c)2＋y2＝c， 即2x2＋2y2－2cx＋c2－c＝0. 答案：2x2＋2y2－2cx＋c2－c＝0 1．曲线与曲线方程、轨迹与轨迹方程是两个不同的概念，前者指曲线的形状、位置、大小等特征，后者指方程(包括范围)． 2．求轨迹方程时易忽视轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响． [小题纠偏] 1．(教材习题改编)已知M(－1,0)，N(1,0)，|PM|－|PN|＝2，则动点P的轨迹是( ) A．双曲线 B．双曲线左支 C．一条射线 D．双曲线右支 解析：选C 由于|PM|－|PN|＝|MN|，所以D不正确，应为以N为端点，沿x轴正向的一条射线． 2．在△ABC中，A为动点，B，C为定点，B，C(a＞0)，且满足条件sin C－sin B＝sin A，则动点A的轨迹方程是_____． 解析：由正弦定理得－＝×， 即|AB|－|AC|＝|BC|， 故动点A是以B，C为焦点，为实轴长的双曲线右支． 即动点A的轨迹方程为－＝1(x＞0且y≠0)． 答案：－＝1(x＞0且y≠0) [题组练透] 1．(2019·杭二月考)F1，F2是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的两焦点，P是椭圆上任意一点，从任一焦点引∠F1PF2的外角平分线的垂线，垂足为Q，则点Q的轨迹为( ) A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 解析：选A 如图，由题意，延长F2P，与F1Q的延长线交于M点，连接QO， ∵PQ是∠F1PF2的外角平分线，且PQ⊥MF1， ∴△F1MP中，|PF1|＝|MP|且Q为MF1的中点． 在△F1MF2中，由三角形中位线定理， 得|OQ|＝|MF2|＝(|MP|＋|PF2|)， ∵|PF1|＋|PF2|＝2a， ∴|MP|＋|PF2|＝2a， ∴|OQ|＝(|MP|＋|PF2|)＝a， 可得动点Q的轨迹方程为x2＋y2＝a2， ∴点Q的轨迹为以原点为圆心，半径为a的圆．故选A. 2．(2018·上虞期初)在平面直角坐标系xOy中，点B与点A(－1，1)关于原点O对称，点P是动点，且直线AP与BP的斜率之积为－，则点P的轨迹方程为( ) A．3x2＋y2＝4 B．3x2＋y2＝1 C．x2＋3y2＝4 D．x2＋3y2＝1 解析：选C 设P(x，y)，由题可得，B(1，－1)．因为直线AP与BP的斜率之积为－，所以kAP·kBP＝·＝－，化简得x2＋3y2＝4. 3．(2018·金华五中模拟)已知|AB|＝3，A，B分别在x轴和y轴上运动，O为原点，OP＝OA＋OB，则动点P的轨迹方程为( ) A．x2＋＝1 B.＋y2＝1 C．x2＋＝1 D.＋y2＝1 解析：选C 设A(a,0)，B(0，b)，P(x，y) ... ...
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