章末检测试卷(一) (时间：120分钟 满分：160分) 一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分) 1．函数y＝的导数为_____． 答案 解析 y′＝′＝ ＝. 2．曲线f(x)＝sin x＋ex在点(0,1)处的切线的斜率为_____． 答案 2 解析 ∵f′(x)＝cos x＋ex， ∴k＝f′(0)＝cos 0＋e0＝2. 3．函数f(x)＝xex－ex＋1的单调增区间是_____． 答案 (e－1，＋∞) 解析 f′(x)＝ex＋xex－ex＋1＝(x－e＋1)ex， 令f′(x)＞0，得x＞e－1. 4．设f(x)＝x2－2x－4ln x，则f(x)的单调增区间为_____． 答案 (2，＋∞) 解析 f(x)的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝2x－2－＝＝， 令f′(x)>0，可得x>2. ∴f(x)的单调增区间为(2，＋∞)． 5．若曲线y＝kx＋ln x在点(1，k)处的切线平行于x轴，则k＝_____. 答案 －1 解析 求导得y′＝k＋，依题意k＋1＝0，所以k＝－1. 6．已知函数f(x)＝x－aln x在区间(0,2]上单调递减，则实数a的取值范围是_____． 答案 [2，＋∞) 解析 函数的导数为f′(x)＝1－. 若函数f(x)＝x－aln x在区间(0,2]上单调递减， 则等价为f′(x)≤0在(0,2]上恒成立， 即1－≤0，即≥1，即a≥x， ∵00)． 设g(x)＝2x2＋a，∵函数f(x)＝x2＋aln x在区间(1，＋∞)上存在极小值， ∴g(1)＝2＋a<0，∴a<－2. 8．已知a<0，函数f(x)＝ax3＋ln x，且f′(1)的最大值是－12，则实数a的值为_____． 答案 －2 解析 f(x)的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝3ax2＋，f′(1)＝3a＋. 令F(a)＝3a＋(a<0)， 则F′(a)＝3－＝＝， ∴F(a)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2,0)上单调递减， ∴F(a)max＝F(－2)．∴a＝－2. 9．若函数f(x)＝(a>0)在[1，＋∞)上的最大值为，则实数a的值为_____． 答案 －1 解析 f′(x)＝， 当x>时，f′(x)<0，f(x)单调递减； 当－0，f(x)单调递增． 若≥1，即a≥1， 则当x∈[1，＋∞)时，f(x)max＝f()＝＝， 解得＝<1，不符合题意， ∴<1， 且当x∈[1，＋∞)时，f(x)max＝f(1)＝＝， 解得a＝－1，满足<1. 10．已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1，若f(x)存在唯一的零点x0，且x0>0，则实数a的取值范围是_____． 答案 (－∞，－2) 解析 若a＝0，令f(x)＝0，解得x＝±，不符合题意． 若a>0，则f(－1)＝－a－2<0，f(0)＝1>0， 所以f(x)存在负的零点，不符合题意． 若a<0，则f′(x)＝3ax， 可得f?＝1－为极小值， 则1－>0，解得a>2或a<－2，故a<－2. 综上，实数a的取值范围是(－∞，－2)． 11．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，满足xf′(x)＋2f(x)＝，且f(1)＝2，则函数f(x)的最大值为_____． 答案 解析 由xf′(x)＋2f(x)＝， 即x2f′(x)＋2xf(x)＝， 变形为[x2f(x)]′＝(ln x)′， ∴f(x)＝，∵f(1)＝2，∴c＝2. ∴f(x)＝ (x>0)．f′(x)＝－， 当x>时，f′(x)<0，此时函数f(x)单调递减； 当00，此时函数f(x)单调递增． ∴当x＝时，函数f(x)取得最大值为＝. 12．已知a≥0，若函数f(x)＝在[－1,1]上的最大值为2，则实数a的值为_____． 答案 1 解析 求导数可得，f′(x)＝， 令f′(x)＝0，可得x＝－1或x＝a， 所以f(－1)＝0，f(a)＝1＋，f(1)＝， 若1＋＝2，则有a＝1；若＝2，则也有a＝1， 因此a＝1. 13．若函数f(x)＝2x2－ln x在其定义域的一个子区间(k－1，k＋1)内不是单调函数，则实数k的取值范围是_____． 答案 解析 ∵f′(x)＝4x－＝，x>0， ∴当0时，f′(x)>0，f(x)为增函数， 依题意得∴1≤k<. 14．已知f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)为f(x)的导函数，且满足f(x)<－xf′(x)，则不等式f(x＋1)>(x－1 ... ...
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