等腰三角形中辅助线的作法（含答案）

类比归纳专题：等腰三角形中辅助线的作法　　　　　　 类型一　利用“三线合一”作辅助线　　　　　　　　　　　　　 一、已知等腰作垂线(或中线、角平分线) 1．如图，在△ABC中，AB＝AC，AE⊥BE于点E，且∠ABE＝∠ABC.若BE＝2，则BC＝_____. 2．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，E、F分别是AB、AC上的点，且AE＝AF.试说明：DE＝DF. 3．如图，在△ABC中，AC＝2AB，AD平分∠BAC交BC于D，E是AD上一点，且EA＝EC，试说明：EB⊥AB. 二、构造等腰三角形 4．如图，在△ABC中，BP平分∠ABC，且AP⊥BP于点P，连接CP.若△PBC的面积为2，则△ABC的面积为(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 5．如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠A＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，CE⊥BD.试说明：BD＝2CE. 类型二　巧用等腰直角三角形构造全等 6．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，D是AB的中点，DE⊥DF，点E，F分别在AC，BC上，且CE＝BF，试说明：DE＝DF. 类型三　等腰(边)三角形中截长补短或作平行线构造全等 7．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝108°，BD平分∠ABC交AC于D，试说明：BC＝AB＋CD. 8．★如图，过等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于点E，Q为BC延长线上一点，且PA＝CQ，连接PQ交AC于点D. (1)试说明：PD＝DQ；[提示：过点P作PF∥BC交AC于点F] (2)若△ABC的边长为1，求DE的长． 参考答案与解析 1．4 2．解：连接AD.∵AB＝AC，D是BC的中点，∴∠EAD＝∠FAD.又∵AE＝AF，AD＝AD，∴△AED≌△AFD(SAS)，∴DE＝DF. 3．解：过点E作EF⊥AC于F，∴∠AFE＝90°.∵EA＝EC，∴AF＝FC＝AC.∵AC＝2AB，∴AF＝AB.∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD.又∵AE＝AE，∴△ABE≌△AFE(SAS)，∴∠ABE＝∠AFE＝90°，∴EB⊥AB. 4．B 5．解：如图，延长BA和CE交于点M.∵CE⊥BD，∴∠BEC＝∠BEM＝90°.∵BD平分∠ABC，∴∠MBE＝∠CBE.又∵BE＝BE，∴△BME≌△BCE(ASA)，∴EM＝EC＝MC.∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠BAC＝∠MAC＝90°，BA＝AC，∴∠ABD＋∠BDA＝90°.∵∠BEC＝90°，∴∠ACM＋∠CDE＝90°.∵∠BDA＝∠EDC，∴∠ABE＝∠ACM.∴△ABD≌△ACM(ASA)，∴DB＝MC，∴BD＝2CE. 6．解：连接CD.∵AC＝BC，D是AB的中点，∴CD平分∠ACB，CD⊥AB，∴∠CDB＝90°.∵∠ACB＝90°，∴∠BCD＝∠ACD＝45°，∴∠B＝180°－∠CDB－∠BCD＝45°，∴∠ACD＝∠B.∵ED⊥DF，∴∠EDF＝∠EDC＋∠CDF＝90°.∵∠CDF＋∠BDF＝90°，∴∠EDC＝∠FDB.又∵CE＝BF，∴△ECD≌△FBD(AAS)，∴DE＝DF. 7．解：如图，在线段BC上截取BE＝BA，连接DE.∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠EBD＝∠ABC.又∵BD＝BD，∴△ABD≌△EBD(SAS)，∴∠BED＝∠A＝108°，∠ADB＝∠EDB，∴∠DEC＝180°－∠BED＝180°－108°＝72°.∵AB＝AC，∠A＝108°，∴∠ACB＝∠ABC＝×(180°－108°)＝36°，∴∠ABD＝∠EBD＝18°，∴∠ADB＝∠EDB＝180°－∠ABD－∠A＝180°－18°－108°＝54°，∴∠CDE＝180°－∠ADB－∠EDB＝180°－54°－54°＝72°，∴∠CDE＝∠DEC.过点C作CF⊥DE，∴∠CFD＝∠CFE＝90°.∵∠CDF＝∠CEF，CF＝CF，∴△CDF≌△CEF，∴CD＝CE，∴BC＝BE＋EC＝AB＋CD. 8．解：(1)过点P作PF∥BC交AC于点F，∴∠AFP＝∠ACB，∠FPD＝∠Q，∠PFD＝∠QCD.∵△ABC为等边三角形，∴∠A＝∠ACB＝60°，∴∠A＝∠AFP＝∠APF＝60°，∴△APF是等边三角形，∴PF＝PA＝CQ，∴△PFD≌△QCD，∴PD＝DQ. (2)∵△APF是等边三角形，PE⊥AC，∴AE＝EF.∵△PFD≌△QCD，∴CD＝DF，DE＝EF＋DF＝AF＋CF＝AC.又∵AC＝1，∴DE＝. ... ...