第1课时 一元二次不等式及其解法(一) 学习目标 1.理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系．2.掌握图象法解一元二次不等式．3.能从实际问题中抽象出一元二次不等式并解决． 知识点一 一元二次不等式的概念 1．一般地，含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式不等式，叫做一元二次不等式． 2．一元二次不等式的一般表达形式为ax2＋bx＋c>0(a≠0)或ax2＋bx＋c<0(a≠0)，其中a，b，c均为常数． 3．能使不等式成立的未知数x的一个值称为不等式的一个解． 4．不等式所有解的集合称为解集． 知识点二———三个二次”的关系 一元二次不等式与相应的一元二次方程、二次函数的联系，如下表． Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象 ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根 有两相异实根 x1，x2(x10 (a>0)的解集 {x|xx2} R ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集 {x|x10或ax2＋bx＋c<0(其中a>0)； (2)计算Δ＝b2－4ac，以确定一元二次方程ax2＋bx＋c＝0是否有解； (3)有根求根； (4)根据图象写出不等式的解集． 1．x2＞1的一个解是x＝－2．解集是(－∞，－1)∪(1，＋∞)．( √ ) 2．方程x2－1＝0相当于函数y＝x2－1中y＝0．( √ ) 3．如果关于x的方程ax2＋bx＋c＝0无解，则不等式ax2＋bx＋c>0也无解．( × ) 4．x2－1>0与1－x2<0的解集相等．( √ ) 题型一 一元二次不等式的解法 命题角度1 二次项系数大于0 例1 求不等式4x2－4x＋1>0的解集． 解 因为Δ＝(－4)2－4×4×1＝0， 所以方程4x2－4x＋1＝0的解是x1＝x2＝， 所以原不等式的解集为. 反思感悟 在求解一元二次不等式的过程中，要密切结合一元二次方程的根的情况以及二次函数的图象． 跟踪训练1 求不等式2x2－3x－2≥0的解集． 解 ∵2x2－3x－2＝0的两解为x1＝－，x2＝2， 且a＝2>0， ∴不等式2x2－3x－2≥0的解集是. 命题角度2 二次项系数小于0 例2 解不等式－x2＋2x－3>0. 解 不等式可化为x2－2x＋3<0. 因为Δ＝(－2)2－4×3＝－8<0， 方程x2－2x＋3＝0无实数解， 而y＝x2－2x＋3的图象开口向上， 所以原不等式的解集是?. 反思感悟 将二次项系数小于0的不等式进行转化过程中要注意不等号的变化，化归为二次项系数大于0的不等式，是为了减少记忆负担． 跟踪训练2 求不等式－3x2＋6x>2的解集． 解 不等式可化为3x2－6x＋2<0， ∵Δ＝(－6)2－4×3×2＝12>0， ∴x1＝1－，x2＝1＋， ∴不等式－3x2＋6x>2的解集是. 题型二———三个二次”间对应关系的应用 例3 已知关于x的不等式x2＋ax＋b<0的解集为{x|10的解集． 解 由根与系数的关系，可得即 ∴不等式bx2＋ax＋1>0， 即2x2－3x＋1>0. 解得x<或x>1. ∴bx2＋ax＋1>0的解集为. 反思感悟 给出一元二次不等式的解集，相当于知道了相应二次函数的开口方向及与x轴的交点，可以利用代入根或根与系数的关系求待定系数． 跟踪训练3 已知不等式ax2－bx＋2<0的解集为{x|10，且1,2是方程ax2－bx＋2＝0的两实根． 由根与系数的关系，知解得 方法二 把x＝1,2分别代入方程ax2－bx＋2＝0中， 得解得 数形结合解不等式 典例 函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，且为奇函数．若f(1)＝－1，则满足－1≤f(x－2)≤1的实数x的取值范围是( ) A．[－2,2] B．[－1,1] C．[0,4] D．[1,3] 答案 D 解析 根据函数f(x)的性质可画出f(x)图象示意图： 不等式－1≤f(x)≤1的几何意义为当函数f(x)的纵坐标介于[－1,1]之间时，求横坐标x的取值集合．由已知，使－1≤f(x)≤1 ... ...
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