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课件网) 第二章 函数及其应用 第一节 函数及其表示 (全国卷5年10考) 【知识梳理】 1.函数与映射的概念 函数 映射 两集合 A,B A,B是两个 _____ A,B是两个 _____ 非空数集 非空集合 函数 映射 对应关 系f: A→B 如果按照某种确定 的对应关系f,使对 于集合A中的_____ 一个数x,在集合B 中都有_____ 的数f(x)与之对应 如果按某一个确定 的对应关系f,使对 于集合A中的_____ 一个元素x,在集合 B中都有_____ 的元素y与之对应 任意 唯一确定 任意 唯一确定 函数 映射 名称 称_____为从 集合A到集合 B的一个函数 称对应_____ 为从集合A到 集合B的一个映射 记法 y=f(x),x∈A 对应f:A→B f:A→B f:A→B 2.函数的有关概念 (1)函数的定义域、值域 在函数y=f(x),x∈A中,x叫做自变量,x的取值范围A叫 做函数的_____;与x的值相对应的y值叫做_____, 函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的_____. 定义域 函数值 值域 (2)函数的三要素:_____、_____和_____. (3)函数的表示法 表示函数的常用方法有_____、_____和_____. 定义域 对应关系 值域 解析法 图象法 列表法 3.分段函数 若函数在其定义域的不同子集上,因_____不同而 分别用几个不同的式子来表示,这种函数称为分段函数. 分段函数的定义域等于各段函数的定义域的_____,其 值域等于各段函数的值域的_____,分段函数虽由几个 部分组成,但它表示的是一个函数. 对应关系 并集 并集 【常用结论】 1.函数与映射的相关结论 (1)相等函数 如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,则这两个函数相等. (2)映射的个数 若集合A中有m个元素,集合B中有n个元素,则从集合A到集合B的映射共有nm个. (3)与x轴垂直的直线和一个函数的图象至多有1个交点. 2.简单函数定义域的类型 (1)f(x)为分式型函数时,定义域为使分母不为零的实数集合. (2)f(x)为偶次根式型函数时,定义域为使被开方式非负的实数的集合. (3)f(x)为对数式时,函数的定义域是真数为正数、 底数为正且不为1的实数集合. (4)若f(x)=x0,则定义域为{x|x≠0}. (5)正切函数y=tan x的定义域为 【基础自测】 题组一:走出误区 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√” 或“×”) (1)对于函数f:A→B,其值域就是集合B. ( ) (2)若两个函数的定义域与值域相同,则这两个函数相 等. ( ) (3)若A=R,B={x|x>0},f:x→y=|x|,其对应是从A到B的 映射. ( ) (4)分段函数是由两个或几个函数组成的.( ) 提示:(1)×.由函数定义知,值域为集合B的子集.故错误. (2)×.当两个函数的定义域和对应关系相同时才是相等函数,定义域与值域相同但对应关系不一定相同.故错误. (3)×.对于A中元素0,在B中无元素对应,故不能形成映射. (4)×.由分段函数概念知,分段函数为一个函数,故错误. 2.设函数f(x)= 若f(a)+f(-1)=2, 则a=_____. 【解析】若a≥0,则 +1=2,得a=1; 若a<0,则 +1=2,得a=-1.故a=±1. 答案:±1 3.已知f =x2+5x,则f(x)=_____. 【解析】令t= ,则x= (t≠0),即f(t)= 所以f(x)= (x≠0). 答案: (x≠0) 题组二:走进教材 1.(必修1P23T2改编)下列四个图形中,不是以x为自变量的函数的图象是 ( ) 【解析】选C.由函数定义知,定义域内的每一个x,都有唯一函数值与之对应,A,B,D选项中的图象都符合;C项中对于大于零的x而言,有两个不同的值与之对应,不符合. 2.(必修1P18例2改编)下列哪个函数与y=x相等( ) A.y= B.y= C.y= D.y=( )3 【解析】选D.y=x的定义域为{x|x∈R},而y= 的定义 域为{x|x∈R且x≠0},y= 的定义域为{x|x∈R,且 x>0},排除A,B;y= =|x|的定义域为{x|x∈R},对应关 系与y=x的对应关系不同,排除C;而y=( )3=x的定义 域与对应关系与y=x均相同. 3.(2016·全国卷Ⅱ)下列函数中,其定义域和值域分别与函数y=10lg x的 ... ...
