2019年高考数学热点问题解题策略指导系列专题02 三角函数与解三角形热点问题（文理通用）

2019高考数学（理）热点问题解题策略指导系列 专题02 三角函数与解三角形热点问题 【最新命题动向】三角函数不仅是数学的重要基础知识，同时也是解决其他问题的一种数学工具.高考命题者常在三角函数、解三角形和平面向量、数列等知识的交汇处命题.对三角函数与平面向量的考查，多以解答题的形式出现，难度中等.备考中注意与平面向量的加法、减法的几何意义，平行、垂直的条件以及数量积的定义相结合来寻找解题突破口，三角函数与数列相交汇时，常常用到数列的基本性质。 【热点一】解三角形与数列的综合问题 【典例1】（2019年5月金华模拟卷理17）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， 已知cos2B＋cosB＝1－cos Acos C. (1)求证：a，b，c成等比数列； (2)若b＝2，求△ABC的面积的最大值． 【审题示例】 (1)根据正弦定理将角的问题转化为边的问题，由数列的概念得证； (2)利用均值不等式解决三角形中的面积最值问题． 【规范解答】 【知识点归类点拔】纵观近年的高考试题，许多新颖别致的三角函数解答题就是以数列为出发点设计的．在这类试题中数列往往只是起到包装的作用，实质是考查考生利用三角函数的性质、三角恒等变换与正、余弦定理来解决问题的能力．解决这类问题的基本思路是脱掉数列的外衣，抓住问题的实质，选择合理的解决方法，灵活地实现问题的转化． 【跟踪训练1】在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，面积为S， 已知acos2＋ccos2＝b. (1)求证：a、b、c成等差数列； (2)若B＝，S＝4，求b. 【热点二】三角函数的图像和性质 【典例2】(2016·山东卷)设f(x)＝2sin (π－x)sin x－(sin x－cos x)2. (1)求f(x)的单调递增区间； (2)把y＝f(x)的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图像向左平移个单位，得到函数y＝g(x)的图像，求g的值． 【审题示例】 (1)将f(x)化为Asin (ωx＋φ)＋b的形式后，利用y＝sin x的单调递增区间得出关于x的不等式，不等式的解集即为所求； (2)根据三角函数图像变换的方法，得出y＝g(x)的图像对应的解析式，再进行计算． 【规范解答】 【防失误】 化asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)时φ的求法： ①tan φ＝； ②φ所在象限由(a，b)点确定． 【知识点归类点拔】利用辅助角公式asin x＋bcos x＝·sin (x＋φ)，把形如y＝asin x＋bcos x＋k的函数化为一个角的一种函数的一次式，可以求三角函数的周期、单调区间、值域、最值和对称轴对称中心等．其一般步骤： 第一步：将f(x)化为asin x＋bcos x的形式； 第二步：构造f(x)＝·； 第三步：和差公式逆用f(x)＝sin (x＋φ)(其中φ为辅助角)； 第四步：利用f(x)＝sin (x＋φ)研究三角函数的性质； 第五步：反思回顾，查看关键点、易错点和解题规范． 1 化简时公式的准确应用是灵魂； 2 ②研究三角函数性质时注意整体思想的应用． 【跟踪训练2】(2019·合肥市模拟)已知函数f(x)＝sin xcos x－cos . (1)求函数f(x)图像的对称轴方程； (2)将函数f(x)图像向右平移个单位，所得图像对应的函数为g(x)．当x∈时，求函数g(x)的值域． 【热点三】三角变换与解三角形的综合 【典例3】(2019·浙江模拟)在△ABC中，a2＋c2＝b2＋ac. (1)求∠B的大小； (2)求cos A＋cos C的最大值． 【审题示例】 第(1)问条件中有边的平方和边的乘积，显然用余弦定理求解； 第(2)问用三角形内角和定理将原三角函数式化为只含一个角的三角函数式，再注意角的取值范围，问题得解． 【规范解答】 【知识点归类点拔】 　三角函数和三角形的结合，一般可以利用正弦定理、余弦定理先确定三角形的边角，再代入到三角函数中，三角函数和差公式的灵活运用是解决此类问题的关键． 【跟踪训练3】已知在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c， 且sin B＋si ... ...