§1 正整数指数函数 §2 指数扩充及其运算性质 学习目标 1.学会根式与分数指数幂之间的相互转化(重点)；2.理解实数指数幂的运算性质(重点)；3.能用实数指数幂运算性质化简、求值(重、难点)． 知识点一 正整数指数函数 1．正整数指数函数 一般地，函数y＝ax(a>0，a≠1，x∈N＋)叫作正整数指数函数，其中x是自变量，定义域是正整数集N＋． 2．正整数指数函数的图像：正整数指数函数的图像是第一象限内一系列孤立的点，是离散而不是连续的． 知识点二 分数指数幂 1．分数指数幂的定义：给定正实数a，对于任意给定的整数m，n(m，n互素)，存在唯一的正实数b，使得bn＝am，我们把b叫作a的次幂，记作b＝a； 2．规定正数的负分数指数幂的意义是：a－＝(a>0，m，n∈N＋，且n>1)； 3．0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义． 【预习评价】 (正确的打“√”，错误的打“×”) (1)＝()n.( ) (2)(－2)＝(－2)＝.( ) (3)分数指数幂a可以理解为个a相乘．( ) 提示 (1)错误．当n为偶数时中a可以为负数而()n中的a不可以为负数． (2)错误．(－2) ＝(2) ＝2＝． (3)错误，分数指数幂a不可理解为个a相乘，其实质是一个数． 答案 (1)× (2)× (3)× 知识点三 有理数指数幂的运算性质 1．aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)； 2．(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)； 3．(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)． 【预习评价】 1．有理数指数幂的运算性质是否适用于a＝0或a<0? 提示 (1)若a＝0，因为0的负数指数幂无意义，所以a≠0． (2)若a<0，(ar)s＝ars也不一定成立，如[(－4)2]≠(－4) ，所以a<0不成立．因此不适用于a＝0或a<0的情况． 2．公式am÷an＝am－n(a>0，m，n∈N*)成立吗？请用有理数指数幂的运算性质加以证明，并说明是否要限制m>n? 提示 成立，且不需要限制m>n． 证明如下：am÷an＝＝am·＝am·a－n＝am－n． 3．结合教材P64例4，你认为应该怎样利用分数指数幂的运算性质化简与求值？ 提示 第一步：先将式子中的根式化为分数指数幂的形式． 第二步：根据有理数指数幂的运算性质化简求值． 题型一 根式的运算 【例1】 求下列各式的值． (1)；(2)；(3)； (4)－，x∈(－3,3)． 解 (1)＝－2． (2)＝＝． (3)＝|3－π|＝π－3． (4)原式＝－＝|x－1|－|x＋3|， 当－30，将表示成分数指数幂，其结果是( ) A．a B．a C．a D．a (2)将(a＋b)表示成根式的形式是( ) A. B．(＋) C. D． 解析 (1)＝＝a2－－＝a． (2)因为a＝，b＝，所以(a＋b)＝． 答案 (1)D (2)C 规律方法 根式与分数指数幂互化的规律及技巧 (1)规律：根指数分数指数幂的分母． 被开方数(式)的指数分数指数幂的分子． (2)技巧：当表达式中的根号较多时，由里向外用分数指数幂的形式写出来，然后再利用相关的运算性质进行化简． 【训练2】 (1)化为分数指数幂为_____． (2)将下列各式化为分数指数幂的形式．： ①(x>0)； ②(a>0，b>0)． (1)解析 原式＝＝＝a． 答案 a (2)解 ①原式＝＝ ＝＝＝＝x－． ②原式＝[ab3(ab5)] ＝(a·a·b3·b)＝(ab)＝ab． 题型三 利用分数指数幂运算性质化简与求值 【例3】 (1)化简式子： ＝_____． (2)①化简a·b·(2ab)÷＝_____； ②计算：(－1)0＋－＋8＝___ ... ...
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