21.5.2 反比例函数的图象和性质(要点讲解+当堂检测+答案)

沪科版数学九年级上册同步学案 第二十一章　二次函数与反比例函数 21.5　反比例函数 第2课时　反比例函数的图象和性质 要 点 讲 解 要点一　反比例函数的图象 1. 画反比例函数的图象常用描点法，主要有三个步骤： (1)列表：自变量的取值应以0为中心，沿x轴的两个方向取三对(或三对以上)互为相反数的数.注意：x不能为0. (2)描点：先描出一侧，另一侧可根据关于原点成中心对称的点的性质去找. (3)连线：在y轴的每一侧，按照从左到右的顺序，分别用一条光滑的曲线连接各点并延伸. 2. 反比例函数y＝(k为常数，且k≠0)的图象是双曲线.它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限(或第二、四象限)，它们关于原点中心对称，且分别关于直线y＝x和y＝－x轴对称. 经典例题1　画反比例函数y＝的图象. 解析：根据反比例函数图象的画法，分三个步骤进行，即列表、描点、连线. 解：列表： x －5 －4 －2 －1 － －   1 2 4 5 y＝ －0.4 －0.5 －1 －2 －4 －6 6 4 2 1 0.5 0.4 描点：在平面直角坐标系内，以表中x的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出相应的点. 连线：把y轴左侧各点和右侧各点分别用一条光滑的曲线顺次连接起来并延伸，就得到函数y＝的图象，如图所示. 要点二　反比例函数的性质 反比例函数的性质与k的符号有关，现列表归纳如下： 反比例函数 y＝(k是常数，且k≠0) k的符号 k>0 k<0 图象 性质 图象的两个分支分别位于第一、三象限，在每个象限内，图象自左向右下降，函数值y随x的增大而减小 图象的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内，图象自左向右上升，函数值y随x的增大而增大 (1)描述反比例函数的增减性时，应强调条件“在每个象限内”，如图所示，k>0，xA0，∴k<4. (2)∵在第二象限内，y随x的增大而增大， ∴4－k<0，∴k>4. 点拨：(1)反比例函数的图象位置和函数的增减性都由k的符号确定；(2)因为反比例函数y＝的图象在实数范围内是不连续的，所以在描述函数的增减情况时，必须指明“在每个象限内”，而不能笼统地说“当k>0时，y随x的增大而减小”；(3)因为k≠0，x≠0，y≠0，所以函数图象无限地接近x轴、y轴，但永远也达不到x轴、y轴. 要点三　反比例函数中系数k的几何意义 如图所示，过反比例函数y＝(k为常数，且k≠0)图象上任意一点P(x，y)，分别向x轴、y轴作垂线，垂线段与x轴、y轴围成的矩形面积都相等，均为|k|；过图象上任意一点D(x，y)向x轴(或y轴)作垂线，垂线段、坐标轴、点D与原点连接所成的线段围成的直角三角形面积都相等，均为. 经典例题3　如图，正比例函数y＝x与反比例函数y＝的图象相交于A，B两点，BC⊥x轴于点C，则△ABC的面积为(　　　) A. 1 B. 2 C.  D.  解析：∵正比例函数y＝x与反比例函数y＝的图象相交于A，B两点，∴A(1，1)，B(－1，－1)，∴点A与点B关于原点对称，∴S△AOC＝S△BOC.∵BC⊥x轴，∴△ABC的面积＝2S△BOC＝2××|－1|＝1. 答案：A 点拨：因为反比例函数y＝中的k有正、负之分，所以在利用反比例函数表达式求矩形或三角形的面积时，都应将k加上绝对值符号. 易错易混警示　利用反比例函数的性质时，忽略“在每一象限内”这一特定的条件 经典例题4　在函数y＝(a为常数)的图象上有三点(－3，y1)，(－1，y2)，(2，y3)，则函数值y1，y2，y3的大小关系是(　　　) A. y2