2020版高考数学一轮复习（山东专版）第八节　正弦定理和余弦定理的实际应用

第八节　正弦定理和余弦定理的实际应用(数学建模三) A组　基础题组 1.已知A、B两地间的距离为10 km,B、C两地间的距离为20 km,现测得∠ABC=120°,则A,C两地间的距离为(　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 A.10 km B.103 km C.105 km D.107 km 答案　D　如图所示,由余弦定理可得: AC2=100+400-2×10×20×cos 120°=700, 所以AC=107(km). 2.如图,从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为75°,30°,此时气球的高是 60 m,则河流的宽度BC等于(　　) 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 A.240(3-1)m B.180(2-1)m C.120(3-1)m D.30(3+1)m 答案　C　如图,∠ACD=30°,∠ABD=75°,AD=60 m,在Rt△ACD中,CD=ADtan∠ACD=60tan30°=603 m,在Rt△ABD中,BD=ADtan∠ABD=60tan75°=602+3=60(2-3)m,∴BC=CD-BD=603-60(2-3)=120(3-1)m. 3.一艘海轮从A处出发,以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行,30分钟后到达B处,在C处有一座灯塔,海轮在A处观察灯塔,其方向是南偏东70°,在B处观察灯塔,其方向是北偏东65°,那么B,C两点间的距离是(　　) A.102 海里 B.103 海里 C.203 海里 D.202 海里 答案　A　如图所示,易知在△ABC中,AB=20海里,∠CAB=30°,∠ACB=45°,根据正弦定理得BCsin30°=ABsin45°, 解得BC=102 海里. 4.地面上有两座相距120 m的塔,在矮塔塔底望高塔塔顶的仰角为α,在高塔塔底望矮塔塔顶的仰角为α2,且在两塔底连线的中点O处望两塔塔顶的仰角互为余角,则两塔的高度分别为(　　) A.50 m,100 m B.40 m,90 m C.40 m,50 m D.30 m,40 m 答案　B　设高塔高H m,矮塔高h m,在O点望高塔塔顶的仰角为β. 则tan α=H120,tan α2=h120, 根据三角函数的倍角公式有H120=2×h1201?h1202.① 因为在两塔底连线的中点O望两塔塔顶的仰角互为余角, 所以在O点望矮塔塔顶的仰角为π2-β. 由tan β=H60,tanπ2-β=h60, 得H60=60h.② 联立①②解得H=90,h=40. 即两座塔的高度分别为40 m,90 m. 5.如图所示,测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D,测得∠BCD=15°,∠BDC=30°,CD=30,并在点C测得塔顶A的仰角为60°,则塔高AB等于(　　) A.56 B.153 C.52 D.156 答案　D　在△BCD中,∠CBD=180°-15°-30°=135°. 由正弦定理得BCsin30°=CDsin135°,所以BC=152. 在Rt△ABC中,AB=BCtan∠ACB=152×3=156.故选D. 6.一船自西向东匀速航行,上午10时到达灯塔P的南偏西75°,距灯塔68海里的M处,下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处,则此船航行的速度为　　　　海里/小时.? 答案　1762 解析　如图,由题意知∠MPN=75°+45°=120°,∠PNM=45°. 在△PMN中,MNsin120°=PMsin45°,∴MN=68×3222=346 海里. 又由M到N所用的时间为14-10=4小时, ∴此船的航行速度v=3464=1762 海里/小时. 7.江岸边有一炮台高30 m,江中有两条船,船与炮台底部在同一水平面上,在炮台顶部测得两条船的俯角分别为45°和60°,而且两条船与炮台底部所连的线成30°角,则两条船相距　　　　m.? 答案　103 解析　由题意画示意图,如图, OM=AOtan 45°=30(m),ON=AOtan 30°=33×30=103(m), 在△MON中,由余弦定理得, MN=900+300?2×30×103×32=300=103(m). 8.如图所示,在一个坡度一定的山坡AC的顶上有一高度为25 m的建筑物CD,为了测量该山坡相对于水平地面的坡角θ,在山坡的A处测得∠DAC=15°,沿山坡前进50 m到达B处,又测得∠DBC=45°,根据以上数据可得cos θ=　　　　.? 答案　3-1 解析　由∠DAC=15°,∠DBC=45°可得∠BDA=30°,∠DBA=135°,∠BDC=90°-(15°+θ)-30°=45°-θ,由三角形内角和定理可得∠DCB=180°-(45°-θ)-45°=90°+θ,在△ABD中,根据正弦定理可得50sin30°=DBsin15°,即DB=100sin 15°=100×sin(45°-30°)=252×(3-1),则在△BCD中,由正弦 ... ...