第二节 函数的单调性与最值 A组 基础题组 1.下列函数中,在区间(0,+∞)上存在最小值的是( ) A.y=(x-1)2 B.y=x C.y=2x D.y=log2x 答案 A 当x>0时,y=x>0,y=2x>1,y=log2x∈R,故B,C,D均不符合题意,而y=(x-1)2≥0, 故选A. 2.下列函数中,满足“?x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0”的是( ) A.f(x)=1x-x B.f(x)=x3 C.f(x)=ln x D.f(x)=2x 答案 A———?x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0”等价于在(0,+∞)上f(x)为减函数,易判断f(x)=1x-x符合题意,故选A. 3.函数f(x)=-x+1x在-2,-13上的最大值是( ) A.32 B.-83 C.-2 D.2 答案 A 解法一:易知y=-x,y=1x在-2,-13上均单调递减,∴函数f(x)在-2,-13上单调递减,∴f(x)max=f(-2)=32.故选A. 解法二:函数f(x)=-x+1x的导数为f '(x)=-1-1x2, 易知f '(x)<0,可得f(x)在-2,-13上单调递减, 所以f(x)max=f(-2)=2-12=32.故选A. 4.定义在R上的函数f(x)的图象关于直线x=2对称,且f(x)在(-∞,2)上是增函数,则( ) A.f(-1)
f(3) C.f(-1)=f(3) D.f(0)=f(3) 答案 A 依题意得f(3)=f(1),因为-1<0<1<2,于是由函数f(x)在(-∞,2)上是增函数得 f(-1)1,则下列结论正确的是( ) A.?x0∈R,f(-x0)≠-f(x0) B.?x∈R,f(-x)≠f(x) C.函数f(x)在-π2,π2上单调递增 D. f(x)的值域是[-1,1] 答案 D 结合函数的图象(图象略),由于图象关于原点对称,故f(x)是奇函数,因此A,B选项错误;观察图象可知函数在[-3,-1]上递减,在(-1,1]上递增,在(1,3]上递减,且值域为[-1,1],故C错误,D正确.故选D. 6.(2018北京石景山期末,6)给定函数①y=x12,②y=log12(x+1),③y=|x-1|,④y=2x+1,其中在区间(0,1)上单调递减的函数是( ) A.①④ B.①② C.②③ D.③④ 答案 C 本题主要考查函数的单调性. ①由幂函数的性质可得,y=x12在定义域内单调递增,故①错误; ②由对数函数的性质可知,y=log12(x+1)在定义域内单调递减,故②正确; ③由函数的图象及性质可得,y=|x-1|在(-∞,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,故③正确; ④由指数函数的性质可得,y=2x+1在定义域内递增,故④错误. 故选C. 7.(2016北京朝阳二模,7)已知函数f(x)=x-1,x≤2,2+logax,x>2(a>0,且a≠1)的最大值为1,则a的取值范围是( ) A.12,1 B.(0,1) C.0,12 D.(1,+∞) 答案 A 当x≤2时, f(x)=x-1单调递增, ∴f(x)max=f(2)=1, 由题意知,当x>2时, f(x)=2+logax必为减函数, ∴00,x1+2>0,x2+2>0,∴1-2a<0,∴a>12,即实数a的取值范围是12,+∞. 9.已知函数f(x)=1a-1x(a>0,x>0). (1)求证:f(x)在(0,+∞)上是增函数; (2)若f(x)在12,2上的值域是12,2,求a的值. 解析 (1)证明:任取x1,x2∈(0,+∞),且x2>x1, 则x2-x1>0,x1x2>0, ∵f(x2)-f(x1)=1a-1x2-1a-1x1=1x1-1x2=x2-x1x1x2>0, ∴f(x2)>f(x1), ∴f(x)在(0,+∞)上是增函数. (2)∵f(x)在12,2上的值域是12,2, 且f(x)在12,2上单调递增, ∴f12=12,f(2)=2,∴a=25. B组 提升题组 10.(2018北京东城期末,5)已知函数f(x)=4x+12x,则f(x)的( ) A.图象关于原点对称,且在[0,+∞)上是增函数 B.图象关于y轴对称,且在[0,+∞)上是增函数 C.图象关于原点对称,且在[0,+∞)上是减函数 D.图象关于y轴对称,且在[0,+∞)上是减函数 答案 B ∵f(x)=4x+12x, f(-x)=4-x+12-x=1+4x2x=f(x), ∴f(x) ... ... 