第二节 导数与函数的单调性 A组 基础题组 1.函数f(x)=ex-ex,x∈R的单调递增区间是( ) A.(0,+∞) B.(-∞,0) C.(-∞,1) D.(1,+∞) 答案 D 由题意知f '(x)=ex-e,令f '(x)>0,解得x>1,故选D. 2.设f '(x)是函数f(x)的导函数,y=f '(x)的图象如图所示,则y=f(x)的图象最有可能是( ) 答案 C 由f '(x)的图象知,当x∈(-∞,0)时, f '(x)>0, f(x)为增函数,当x∈(0,2)时, f '(x)<0, f(x)为减函数,当x∈(2,+∞)时, f '(x)>0, f(x)为增函数.故选C. 3.已知函数f(x)=x2+2cos x,若f '(x)是f(x)的导函数,则函数y=f '(x)的图象大致是( ) 答案 A 令g(x)=f '(x)=2x-2sin x,则g'(x)=2-2cos x,易知g'(x)≥0,所以函数f '(x)在R上单调递增. 4.f(x)=x2-aln x在(1,+∞)上单调递增,则实数a的取值范围为 ( ) A.a<1 B.a≤1 C.a<2 D.a≤2 答案 D 由f(x)=x2-aln x,得f '(x)=2x-ax, ∵f(x)在(1,+∞)上单调递增, ∴2x-ax≥0,即a≤2x2在(1,+∞)上恒成立, ∵x∈(1,+∞)时,2x2>2, ∴a≤2.故选D. 5.对于实数集R上的可导函数f(x),若(x2-3x+2)f '(x)<0恒成立,则在区间[1,2]上必有( ) A.f(1)≤f(x)≤f(2) B.f(x)≤f(1) C.f(x)≥f(2) D.f(x)≤f(1)或f(x)≥f(2) 答案 A 由(x2-3x+2)f '(x)<0知,当x2-3x+2<0,即1
0,所以f(x)是区间[1,2]上的单调递增函数,所以在区间[1,2]上必有f(1)≤f(x)≤f(2). 6.若函数f(x)=x2-ex-ax在R上存在单调递增区间,则实数a的取值范围是 .? 答案 (-∞,2ln 2-2] 解析 ∵f(x)=x2-ex-ax,∴f '(x)=2x-ex-a, ∵函数f(x)=x2-ex-ax在R上存在单调递增区间, ∴f '(x)=2x-ex-a≥0,即a≤2x-ex有解, 令g(x)=2x-ex,则g'(x)=2-ex, 令g'(x)=0,解得x=ln 2, 则当x0,g(x)单调递增, 当x>ln 2时,g'(x)<0,g(x)单调递减, ∴当x=ln 2时,g(x)取得最大值, 且g(x)max=g(ln 2)=2ln 2-2, ∴a≤2ln 2-2. 7.(2018北京丰台一模,20)已知函数f(x)=1ex+aln x(a∈R). (1)当a=1e时,求曲线y=f(x)在(1, f(1))处的切线方程; (2)若函数f(x)在定义域内不单调,求a的取值范围. 解析 函数f(x)的定义域为(0,+∞), 导函数f '(x)=-1ex+ax=aex-xxex. (1)当a=1e时,因为f '(1)=-1e+1e=0, f(1)=1e, 所以曲线y=f(x)在(1, f(1))处的切线方程为y=1e. (2)f '(x)=aex-xxex(x>0), 设函数f(x)在定义域内不单调时,a的取值集合是A; 函数f(x)在定义域内单调时,a的取值集合是B,则A=?RB. 函数f(x)在定义域内单调等价于f '(x)≤0恒成立或 f '(x)≥0恒成立, 即aex-x≤0恒成立或aex-x≥0恒成立, 等价于a≤xex恒成立或a≥xex恒成立. 令g(x)=xex(x>0),则g'(x)=1-xex, 由g'(x)>0得01,所以g(x)在(1,+∞)上单调递减. 因为g(1)=1e,且x>0时,g(x)>0, 所以g(x)∈0,1e. 所以B=aa≤0或a≥1e, 所以A=a00,得x>0, 所以f(x)的单调增区间为(0,+∞). (2)f '(x)=(x-a+1)ex. 令f '(x)=0,得x=a-1. 所以当a-1≤1,即a≤2时,在[1,2]上, f '(x)≥0恒成立, f(x)单调递增; 当a-1≥2,即a≥3时,在[1,2]上, f '(x)≤0恒成立, f(x)单调递减; 当10, f(x)单调递增. 综上,无论a为何值,当x∈[1,2]时, f(x)的最大值都为f(1)或f(2). f(1)=(1-a)e, f(2)=(2-a)e2, f(1)-f(2)=(1-a)e-(2-a)e2=(e2-e)a-(2e2-e). 所以当a≥2e2-ee2-e=2e-1e-1时, f(1)-f(2)≥0, f(x)max=f(1)=(1-a)e. 当a<2e2-ee2-e=2e-1e-1时, f(1)-f(2)<0, f(x)max=f(2)=(2-a)e2. 9.(2018北 ... ... 