第四节 二次函数与幂函数 A组 基础题组 1.幂函数y=xm2-4m(m∈Z)的图象如图所示,则m的值为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 答案 C 因为y=xm2-4m(m∈Z)的图象与坐标轴没有交点,所以m2-4m<0,即0
b>c且a+b+c=0,则函数的图象可能是( ) 答案 D 由a>b>c且a+b+c=0,得a>0,c<0,所以函数图象开口向上,排除A,C.又f(0)=c<0,所以排除B,故选D. 4.若二次函数y=kx2-4x+2在区间[1,2]上是单调递增函数,则实数k的取值范围为( ) A.[2,+∞) B.(2,+∞) C.(-∞,0) D.(-∞,2) 答案 A 二次函数y=kx2-4x+2图象的对称轴为x=2k,当k>0时,要使函数y=kx2-4x+2在区间[1,2]上是增函数,只需2k≤1,解得k≥2. 当k<0时,2k<0,此时抛物线的对称轴在区间[1,2]的左侧,该函数y=kx2-4x+2在区间[1,2]上是减函数,不符合要求.综上可得实数k的取值范围是[2,+∞). 5.若函数y=x2-3x-4的定义域为[0,m],值域为-254,-4,则m的取值范围是( ) A.[0,4] B.32,4 C.32,+∞ D.32,3 答案 D 二次函数图象的对称轴为x=32,且f32=-254, f(3)=f(0)=-4,如图所示: 由图得m∈32,3. 6.已知幂函数f(x)=x-12,若f(a+1)0),易知x∈(0,+∞)时, f(x)为减函数,∵f(a+1)0,10-2a>0,a+1>10-2a,解得a>-1,a<5,a>3,∴30的解集是 .? 答案 (-∞,-4)∪(2,+∞) 解析 依题意, f(x)的图象是开口向上的抛物线,对称轴为x=-1,方程ax2+bx+c=0的一个根是2,另一个根是-4.因此f(x)=a(x+4)(x-2)(a>0),于是由f(x)>0,解得x>2或x<-4. 8.已知函数f(x)=x2+(2a-1)x-3. (1)当a=2,x∈[-2,3]时,求函数f(x)的值域; (2)若函数f(x)在[-1,3]上的最大值为1,求实数a的值. 解析 (1)当a=2时,f(x)=x2+3x-3,x∈[-2,3], 函数图象的对称轴为x=-32∈[-2,3], ∴f(x)min=f-32=94-92-3=-214, f(x)max=f(3)=15, ∴函数f(x)的值域为-214,15. (2)函数图象的对称轴为x=-2a-12. 当-2a-12≤1,即a≥-12时, f(x)max=f(3)=6a+3, ∴6a+3=1,即a=-13,满足题意; 当-2a-12>1,即a<-12时, f(x)max=f(-1)=-2a-1, ∴-2a-1=1,即a=-1,满足题意. 综上可知,a=-13或-1. 9.已知函数f(x)=ax2-2ax+2+b(a≠0),若f(x)在区间[2,3]上有最大值5,最小值2. (1)求a,b的值; (2)若b<1,g(x)=f(x)-mx在[2,4]上单调,求m的取值范围. 解析 (1)f(x)=a(x-1)2+2+b-a. 当a>0时,f(x)在[2,3]上为增函数, 故f(3)=5,f(2)=2?9a-6a+2+b=5,4a-4a+2+b=2?a=1,b=0; 当a<0时,f(x)在[2,3]上为减函数, 故f(3)=2,f(2)=5?9a-6a+2+b=2,4a-4a+2+b=5?a=-1,b=3. (2)因为b<1,所以a=1,b=0, 即f(x)=x2-2x+2. g(x)=x2-2x+2-mx=x2-(2+m)x+2, 因为g(x)在[2,4]上单调,所以2+m2≤2或m+22≥4. 所以m≤2或m≥6. B组 提升题组 1.已知a,b,c∈R,函数f(x)=ax2+bx+c.若f(1)=f(3)>f(4),则( ) A.a>0,4a+b=0 B.a<0,4a+b=0 C.a>0,2a+b=0 D.a<0,2a+b=0 答案 B 因为f(1)=f(3),所以直线x=2为f(x)图象的对称轴,故-b2a=2,则4a+b=0,又f(3)>f(4),所以在(2,+∞)上f(x)为减函数,所以f(x)图象的开口向下,所以a<0.故选B. 2.设函数f(x)=x2+x+a(a>0),已知f(m)<0,则( ) A.f(m+1)≥0 B.f(m+1)≤0 C.f(m+1)>0 D.f(m+1)<0 答案 ... ... 