第五节 指数与指数函数 A组 基础题组 1.设2x=8y+1,9y=3x-9,则x+y的值为( ) A.18 B.21 C.24 D.27 答案 D ∵2x=8y+1=23(y+1),∴x=3y+3,① ∵9y=3x-9=32y,∴x-9=2y,② 解①②得x=21,y=6,∴x+y=27. 2.函数y=ax-1a(a>0,且a≠1)的图象可能是( ) 答案 D 当x=-1时,y=1a-1a=0,所以函数y=ax-1a的图象必过定点(-1,0),结合选项可知选D. 3.设y1=40.9,y2=80.48,y3=12-1.5,则( ) A.y3>y1>y2 B.y2>y1>y3 C.y1>y2>y3 D.y1>y3>y2 答案 D y1=40.9=21.8,y2=80.48=21.44,y3=12-1.5=21.5.因为1.8>1.5>1.44,且y=2x在R上单调递增, 所以y1>y3>y2. 4.设x>0,且1
0,∴b>1, ∵bx1,∴ab>1?a>b,∴10,且a≠1)的图象经过第二、三、四象限,则ab的取值范围是 .? 答案 (0,1) 解析 因为函数y=ax-b的图象经过第二、三、四象限,所以函数y=ax-b单调递减且其图象与y轴的交点在y轴的负半轴上.令x=0,则y=a0-b=1-b,由题意得01,故ab∈(0,1). 7.若函数f(x)=a|2x-4|(a>0,且a≠1),满足f(1)=19,则f(x)的单调递减区间是 .? 答案 [2,+∞) 解析 由f(1)=19得a2=19, 所以a=13或a=-13(舍去),即f(x)=13|2x-4|. 由于y=|2x-4|在(-∞,2]上递减,在[2,+∞)上递增, 所以f(x)在(-∞,2]上递增,在[2,+∞)上递减. 8.函数y=14x-12x+1在区间[-3,2]上的值域是 .? 答案 34,57 解析 令t=12x,则t∈14,8, y=t2-t+1=t-122+34. 当t=12时,ymin=34;当t=8时,ymax=57. 故所求函数的值域为34,57. 9.已知函数f(x)=13ax2-4x+3. (1)若a=-1,求f(x)的单调区间; (2)若f(x)有最大值3,求a的值; (3)若f(x)的值域是(0,+∞),求a的值. 解析 (1)当a=-1时, f(x)=13-x2-4x+3,令g(x)=-x2-4x+3,由于g(x)在(-∞,-2)上单调递增,在(-2,+∞)上单调递减,而y=13t在R上单调递减,所以f(x)在(-∞,-2)上单调递减,在(-2,+∞)上单调递增,即函数f(x)的单调递增区间是(-2,+∞),单调递减区间是(-∞,-2). (2)令g(x)=ax2-4x+3,则f(x)=13g(x), 由于f(x)有最大值3,所以g(x)应有最小值-1, 因此必有a>0,3a-4a=-1, 解得a=1,即当f(x)有最大值3时,a的值为1. (3)由指数函数的性质知, 要使f(x)的值域为(0,+∞), 应使y=ax2-4x+3的值域为R,因此只能a=0(若a≠0,则y=ax2-4x+3为二次函数,其值域不可能为R).故a的值为0. 10.已知函数f(x)=10x-10-x10x+10-x. (1)判断函数的奇偶性; (2)证明:f(x)在定义域内是增函数; (3)求f(x)的值域. 解析 (1)因为f(x)的定义域为R, 且f(-x)=10-x-10x10-x+10x=-f(x),所以f(x)是奇函数. (2)f(x)=10x-10-x10x+10-x=102x-1102x+1=1-2102x+1, 任取x1,x2∈R,且令x2>x1,则 f(x2)-f(x1)=1-2102x2+1-1-2102x1+1 =2×102x2-102x1(102x2+1)(102x1+1). 因为x2>x1,所以102x2-102x1>0,又102x2+1>0,102x1+1>0,所以f(x2)-f(x1)>0,即f(x2)>f(x1),所以函数f(x)在定义域内是增函数. (3)令y=f(x),由y=10x-10-x10x+10-x,解得102x=1+y1-y, 因为102x>0,所以-1f(c)>f(b),则下列结论中,一定成立的是( ) A.a<0,b<0,c<0 B.a<0,b≥0,c>0 C.2-a<2c D.2a+2c<2 答案 D 作出函数f(x)=|2x-1|的图象,如图中实线所示,又af(c)>f(b),结合图象知f(a) ... ... 