第二节 导数与函数的单调性 A组 基础题组 1.下列函数在(0,+∞)上为增函数的是( ) A.f(x)=sin 2x B.f(x)=xex C.f(x)=x3-x D.f(x)=-x+ln x 答案 B 对于A,易得f(x)=sin 2x的单调递增区间为kπ-π4,kπ+π4(k∈Z);对于B, f '(x)=ex(x+1),当x∈(0,+∞)时, f '(x)>0,∴函数f(x)=xex在(0,+∞)上为增函数;对于C, f '(x)=3x2-1,令f '(x)>0,得x>33或x<-33, ∴函数f(x)在-∞,-33和33,+∞上单调递增;对于D, f '(x)=-1+1x=-x-1x, 令f '(x)>0,得0
0, f(x)为增函数;当x∈(0,2)时, f '(x)<0, f(x)为减函数;当x∈(2,+∞)时, f '(x)>0, f(x)为增函数.故选C. 3.若函数f(x)=x3-tx2+3x在区间[1,4]上单调递减,则实数t的取值范围是( ) A.-∞,518 B.(-∞,3] C.518,+∞ D.[3,+∞) 答案 C f '(x)=3x2-2tx+3,由于f(x)在区间[1,4]上单调递减,则有f '(x)≤0在[1,4]恒成立, 即3x2-2tx+3≤0在[1,4]上恒成立,则t≥32x+1x在[1,4]上恒成立,易知y=32x+1x在[1,4]上单调递增,所以t≥32×4+14=518.故选C. 4.已知函数f(x)=xsin x,x∈R,则fπ5, f(1), f-π3的大小关系为( ) A. f-π3>f(1)>fπ5 B. f(1)>f-π3>fπ5 C. fπ5>f(1)>f-π3 D. f-π3>fπ5>f(1) 答案 A 因为f(x)=xsin x, 所以f(-x)=(-x)·sin(-x)=xsin x=f(x), 所以函数f(x)是偶函数,所以f-π3=fπ3. 又x∈0,π3时, f '(x)=sin x+xcos x>0,所以此时函数是增函数. 所以fπ5f(1)>fπ5.故选A. 5.设函数f(x)=12x2-9ln x在区间[a-1,a+1]上单调递减,则实数a的取值范围是( ) A.(1,2] B.(4,+∞) C.(-∞,2) D.(0,3] 答案 A ∵f(x)=12x2-9ln x, ∴f '(x)=x-9x(x>0). 当x-9x≤0时,有00且a+1≤3,解得10, f(x)单调递增,所以由f(x2+2)0,g(x)单调递增, 当x>ln 2时,g'(x)<0,g(x)单调递减, ∴当x=ln 2时,g(x)取得最大值, 且g(x)max=g(ln 2)=2ln 2-2, ∴a≤2ln 2-2. 9.设f(x)=a(x-5)2+6ln x,其中a∈R,曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线与y轴相交于点(0,6). (1)确定a的值; (2)求函数f(x)的单调区间. 解析 (1)因为f(x)=a(x-5)2+6ln x, 所以f '(x)=2a(x-5)+6x. 当x=1时, f(1)=16a, f '(1)=6-8a, 所以曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线方程为y-16a=(6-8a)(x-1), 由点(0,6)在切线上, 可得6-16a=8a-6,解得a=12. (2)由(1)知, f(x)=12(x-5)2+6ln x(x>0), f '(x)=x-5+6x=(x-2)(x-3)x. 令f '(x)=0,解得x=2或x=3. 当03时, f '(x)>0; 当2