专题五 圆锥曲线的综合及应用问题 第1课时 题型 1 利用圆锥曲线的方程性质求最值、范围问题 圆锥曲线中常见最值问题及解题方法： (1)两类最值问题：①涉及距离、面积的最值以及与之相关 的一些问题；②求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些 元素存在最值时与之相关的一些问题. (2)两种常见解法：①几何法，若题目的条件和结论能明显 体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决；②代数法， 若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立 起目标函数，再求这个函数的最值，最值常用基本不等式法、 配方法及导数法求解. (3)两点防范：①求范围问题要注意变量自身的范围. ②利用几何意义求最值时，要注意“相切”与“公共点唯 一”的不等价关系，注意特殊关系，特殊位置的应用. 答案：15 【规律方法】先由对称性可设点P在右支上，进而可得|PF1|和|PF2|，再由△F1PF2为锐角三角形可得|PF1|2＋|PF2|2>|F1F2|2，进而可得x的不等式，解不等式可得|PF1|＋|PF2|的取值范围. 答案：9 A.2 B.3 C.6 D.8 答案：C 题型 2 直线与圆锥曲线的位置关系及范围问题 例 2：(2016 年新课标Ⅰ)设圆x2＋y2＋2x－15＝0的圆心为 A，直线 l 过点 B(1,0)且与 x 轴不重合，l 交圆 A 于 C，D 两点， 过 B 作 AC 的平行线交 AD 于点 E. (1)求证|EA|＋|EB|为定值，并写出点 E 的轨迹方程； (2)设点 E 的轨迹为曲线 C1，直线 l 交 C1 于 M，N 两点， 过 B 且与 l 垂直的直线与圆 A 交于 P，Q 两点，求四边形 MPNQ 面积的取值范围. 解：(1)因为|AD|＝|AC|，EB∥AC， 所以∠EBD＝∠ACD＝∠ADC. 所以|EB|＝|ED|. 故|EA|＋|EB|＝|EA|＋|ED|＝|AD|. 又圆A的标准方程为(x＋1)2＋y2＝16， 从而|AD|＝4，所以|EA|＋|EB|＝4. 由题设，得 A(－1,0)，B(1,0)，|AB|＝2. 【规律方法】(1)求参数范围的问题，牢记“先找不等式，有时需要找出两个量之间的关系，然后消去另一个量，保留要求的量”.不等式的来源可以是Δ>0或圆锥曲线的有界性或是题目条件中的某个量的取值范围. (2)求最值的问题，牢记“转化为只含一个变量的目标函数，确定变量的取值范围”或“考虑几何意义”. 【互动探究】 已知动圆过定点 N(0,2)，且在 x 轴上截得弦 PQ 的长为 4. (1)求动圆圆心的轨迹 C 的方程； (2)过点(0,1)作直线与曲线 C 交于两点 A，B，与直线 y＝ －2 交于点 M，求|MA|·|MB|的最小值. 解：(1)设动圆圆心 C(x，y)，PQ 中点为 T， 则|CP2|＝|CT2|＋|PT2|. 又|CN|＝|CP|， 化简，得 x2＝4y. ∴动圆圆心的轨迹 C 的方程为 x2＝4y. 第2课时 题型 1 圆锥曲线中的定点问题 作为高考的一个热点，从考纲的要求以及全国各省高考命 题的趋势来看，圆锥曲线背景下的定点与定值问题要引起我们 的高度重视，特别是和向量、不等式的结合.关于定点与定值问 题，一般来说从两个方面来解决：①从特殊入手，求出定点或 定值，再证明这个点或值与变量无关；②直接推理、计算，并 在计算的过程中消去变量，从而得到定点或定值. 【名师点评】1.圆锥曲线中定点问题的两种解法： (1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示 变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点； (2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定 点，再证明该定点与变量无关. 2.定点的探索与证明问题的两种策略： (1)探索直线过定点时，可设出直线方程为 y＝kx＋b，然后 利用条件建立 b，k 的等量关系进行消元，借助于直线系的思想 找出定点； (2)从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关. 【互动探究】 ②直线 l 是否恒过定点？若过定点，求出该定点的坐标； 若不过定点，请说明理由. 图 5-1 题型 2 圆锥曲线中的定值问题 (1)解：因为抛物线 y2＝2px 经过点 P(1,2)， 所以 4＝2p.解 ... ...
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