第1讲 计数原理与排列组合 第九章 概率与统计 1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理. 2.会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决 一些简单的实际问题. 3.理解排列、组合的概念. 4.能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式. 5.能解决简单的实际问题. 1.分类加法原理与分步乘法原理 m1·m2·…·mn (1)分类加法原理：做一件事，完成它有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，…，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法. (2)分步乘法原理：做一件事，完成它要分成n个步骤，缺一不可，在第一个步骤中有m1种不同的方法，在第二个步骤中有m2种不同的方法，…，在第n个步骤中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝_____种不同的方法. 2.排列与排列数 (1)从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素，按照一定的顺 序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列. (2)从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的所有不同排列 的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数，用 n！ (n－m)！ n！ 1 3.组合与组合数 (1)从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素合成一组，叫做 从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合. 1 1.(2014 年辽宁)6 把椅子摆成一排，3 人随机就座，任何 2 人不相邻的坐法种数为( ) D B A.144 种 C.72 种 B.120 种 D.24 种 2.(2014 年四川)6 个人从左至右排成一行，最左端只能排甲 或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有( ) A.192 种 C.240 种 B.216 种 D.288 种 3.(2018 年新课标Ⅰ)从 2 位女生，4 位男生中选 3 人参加科 技比赛，且至少有 1 位女生入选，则不同的选法共有_____种. (用数字填写答案) _____种.(用数字作答) 16 480 4.6 个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有 考点 1 排列问题 例 1：7 位同学站成一排： (1)共有多少种不同的排法？ (2)站成两排(前 3 后 4)，共有多少种不同的排法？ (3)其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？ (4)甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？ (5)甲、乙不能站在两端的排法共有多少种？ (6)甲不排头、乙不排尾的排法共有多少种？ (7)甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？ (8)甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种？ (9)甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的 排法有多少种？ (10)甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？ (11)甲、乙、丙三个同学都不能相邻的排法共有多少种？ (12)甲、乙、丙三个同学不都相邻的排法共有多少种？ (13)甲、乙相邻且与丙不相邻的排法共有多少种？ (14)甲、乙两同学不能相邻，甲、丙两同学也不能相邻的 排法共有多少种？ (15)甲必须站在乙的左边的不同排法共有多少种？ (16)甲、乙两人中间恰好有 3 人的不同排法共有多少种？ (9)甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的 排法有： 方法一，将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素， 此时一共有 6 个元素， 方法二，将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素， 此时一共有 6 个元素， 方法三，将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素， 此时一共有 6 个元素， 因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的四个位置 【规律方法】(1)对有约束条件的排列问题，应注意如下 类型： ①某些元素不能在或必须排列在某一位置； ②某些元素要求连排(即必须相邻)； ③某些元素要求分离(即不能相邻). (2)基本的解题方法： ①有特殊元素或特殊位置的排列问题，通常是先排特殊元 素或特殊位置，称为优先处理特殊元素(位置)法(优先法)； ②某些元素要求必须相邻时，可以先将这些元素看作一个 元素，与其他元素排列后，再考虑相邻元 ... ...
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