1．3.2 奇偶性 第1课时 奇偶性的概念 学习目标 1.理解函数奇偶性的定义.2.掌握函数奇偶性的判断和证明方法.3.会应用奇、偶函数图象的对称性解决简单问题． 知识点一 函数奇偶性的几何特征 思考 下列函数图象中，关于y轴对称的有哪些？关于原点对称的呢？ 答案 ①②关于y轴对称，③④关于原点对称． 梳理 一般地，图象关于y轴对称的函数称为偶函数，图象关于原点对称的函数称为奇函数． 知识点二 函数奇偶性的定义 函数奇偶性的概念： (1)偶函数：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数．其实质是函数f(x)上任一点(x，f(x))关于y轴的对称点(－x，f(x))也在f(x)图象上． (2)奇函数：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数．其实质是函数f(x)上任一点(x，f(x))关于原点的对称点(－x，－f(x))也在f(x)的图象上． 知识点三 奇(偶)函数的定义域特征及奇(偶)函数的性质 1．奇(偶)函数的定义域关于原点对称． 2．重要性质 (1)奇函数在区间[a，b]和[－b，－a](b>a>0)上有相同的单调性． (2)偶函数在区间[a，b]和[－b，－a](b>a>0)上有相反的单调性． 1．关于y轴对称的图形都是偶函数的图象．(×) 2．若f(x)是奇函数，f(1)＝2，则f(－1)＝－2.(√) 3．存在既是奇函数又是偶函数的函数，且不止一个．(√) 4．有些函数既非奇函数，又非偶函数．(√) 类型一 证明函数的奇偶性 例1 (1)证明f(x)＝既非奇函数又非偶函数； (2)证明f(x)＝(x＋1)(x－1)是偶函数； (3)证明f(x)＝＋既是奇函数又是偶函数． 考点 函数的奇偶性判定与证明 题点 判断简单函数的奇偶性 证明 (1)因为它的定义域为{x|x∈R且x≠1}，所以对于定义域内的－1，其相反数1不在定义域内，所以f(x)＝既非奇函数又非偶函数． (2)函数的定义域为R，因为函数f(x)＝(x＋1)(x－1)＝x2－1，又因为f(－x)＝(－x)2－1＝x2－1＝f(x)，所以函数为偶函数． (3)定义域为{－1,1}，因为对定义域内的每一个x，都有f(x)＝0，所以f(－x)＝f(x)＝－f(x)＝0，故函数f(x)＝＋既是奇函数又是偶函数． 反思与感悟 利用定义法判断函数是否具有奇偶性时，首先应看函数定义域是否关于原点对称，即对于定义域内的任意一个x，则－x也一定属于定义域． 跟踪训练1 (1)证明f(x)＝(x－2) 既非奇函数又非偶函数； (2)证明f(x)＝x|x|是奇函数． 考点 函数的奇偶性判定与证明 题点 判断简单函数的奇偶性 证明 (1)由≥0，得定义域为[－2,2)，关于原点不对称，故f(x)为非奇非偶函数． (2)函数的定义域为R，因为f(－x)＝(－x)|－x|＝－x|x|＝－f(x)，所以函数为奇函数． 类型二 奇偶性的应用 命题角度1 奇?偶?函数图象的对称性的应用 例2 定义在R上的奇函数f(x)在[0，＋∞)上的图象如图所示． (1)画出f(x)的图象； (2)解不等式xf(x)>0. 考点 函数图象的对称性 题点 中心对称问题 解 (1)先描出(1,1)，(2,0)关于原点的对称点(－1，－1)，(－2,0)，连线可得f(x)的图象如图． (2)xf(x)>0即图象上横坐标、纵坐标同号．结合图象可知，xf(x)>0的解集是(－2,0)∪(0,2)． 引申探究 把本例中的“奇函数”改为“偶函数”，重做该题． 解 (1)f(x)的图象如图所示： (2)xf(x)>0的解集是(－∞，－2)∪(0,2)． 反思与感悟 可以用奇(偶)函数图象关于原点(y轴)对称，这一特性去画图，求值，求解析式，研究单调性． 跟踪训练2 已知奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，且在区间[0,5]上的图象如图所示． (1)画出在区间[－5,0]上的图象； (2)写出使f(x)<0的x的取值集合． 考点 函数图象的对称性 题点 中心对称问题 解 (1)如图，在[0,5]上的图象上选取5个关键点O，A，B，C，D. 分别描出它们关于原点的对称点O′，A′，B ... ...
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