必修二 2.3.1 直线与平面垂直的判定 同步学案

高一数学 必修2 §2.3.1 直线与平面垂直的判定 班级＿＿＿＿＿ 姓名＿＿＿＿＿ 学习目标 1. 理解直线与平面垂直的定义； 2. 掌握直线与平面垂直的判定定理及其应用； 学习过程 一、课前准备【考试重点】 1、线线平行线面平行 2、线面平行面面平行 图形语言： 符号语言： 图形语言： 符号语言： 3、线面平行线线平行 4、面面平行线线平行 图形语言： 符号语言： 图形语言： 符号语言： 二、新课导学 ※ 探索新知 探究1：直线和平面垂直的概念 问题1：如图10-2，将三角板直立起来，并且让它的一条直角边落在桌面上，观察边与桌面的位置关系呈什么状态？绕着边转动三角板，边与始终垂直吗？在转动的过程中，把看作桌面上不同的直线，你能得出什么结论吗？ 新知1：如果直线与平面内的任意一条直线都垂直， 就说直线与平面互相垂直，记做. 叫做垂线，叫垂面，它们的交点叫垂足. 反思1：如果直线和平面垂直，则该直线与此平面内的任一直线＿＿＿＿＿【解题中可以直接应用】 探究2：直线与平面垂直的判定定理 问题2：如图10-2，将一块三角形纸片沿折痕折起， 将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(与桌面接触). 观察折痕与桌面的位置关系. 如何翻折才能使折痕与桌面垂直呢？ 结论：当且仅当折痕是边上的高时，所在的直线与桌面所在的平面垂直.如图所示. 新知2：直线和平面垂直的判定定理： 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直. 图形语言： 符号语言： 探究3：直线与平面所成的角 新知3：如图11-1，直线和平面相交但不垂直，叫做平面的斜线， 和平面的交点叫斜足； ，叫做斜线在平面上的射影. 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫这条直线和平面所成的角. 反思3： （1）直线与平面的特殊位置： 直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是角. （2）线面角：直线与平面所成的角的范围是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． ※ 典型例题 例1【自学课本例1】如图，已知∥，． 求证：. 练习1 如图所示，已知PA垂直于⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上任意一点，过点A作AE⊥PC于点E.求证：AE⊥平面PBC.【来源：21·世纪·教育·网】 例2 如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，求 （1）直线和平面所成的角； （2）直线和平面所成的角． 练习2 如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，E、F分别是AB，PC的中点，PA＝AD．求证： (1) CD⊥PD； (2) EF⊥平面PCD． （3）若，，求直线与平面所成角的正弦值 三、总结提升 ※ 学习小结 求直线与平面所成的角关键是作出斜线上一点到平面的垂线，找到这点的射影即垂足的位置.确定点的射影位置的方法有： 斜线上任意一点在平面上的射影必在斜线在平面内的射影上； 一个点到一个角的两边距离相等，则这个点的射影在这个角的角平分线上； ③ 若两个面垂直，则一个面上的点在另一面上的射影必在两个平面的交线上. 当堂检测 1、若直线a与平面α不垂直，那么在平面α内与直线a垂直的直线有　　　条. 2、已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面.下列命题中不正确的是（ ） A、若m∥α，α∩β＝n，则m∥n B、若m∥n，m⊥α，则n⊥α C、若m⊥α，m⊥β，则α∥β D、若m⊥α，m?β，则α⊥β 3、直线和平面内两条直线都垂直，则与平面的位置关系是（ ）. A、垂直 B、平行 C、相交但不垂直 D、都有可能 4、已知直线和平面，下列错误的是（ ）. A、 B、 C、∥或 D、∥ 5、m、n是空间两条不同直线，α、β是两个不同平面，下面有四个命题： ① m⊥α，n∥β，α∥β?m⊥n； ② m⊥n，α∥β，m⊥α?n∥β； ③ m⊥n，α∥β，m∥α?n⊥β； ④ m⊥α，m∥n，α∥β?n⊥β. 其中，所有真命题的编号是　　　　 ... ...