课件63张PPT。第三章 高阶常微分方程本章主要内容1.高阶线性微分方程解的性质与构成(n阶)齐线性(微分)方程通解的构造(特解如何构成通解的).非齐线性方程通解如何构成.2. 解的求法常系数线性方程：四种求解方法.变系数齐线性方程：幂级数法(以二阶为例，可扩充).3. 一般高阶方程的降阶手段———线性微分方程的一般理论讨论非齐线性方程和它对应的齐线性方程它们的初始条件是定理1定理2(叠加原理)也是(4.2)的解.定理3 此定理不可逆. 若这n个函数是方程(4.2)的n个解，则由下面定理4知，它这时可逆.推论定理4定理5 方程(4.2) 一定存在 n 个线性无关的解.定理6 (通解的结构)是(4.2)的通解.方程(4.2)的线性无关解的最大个数等于n———它的 方程(4.2)的任一组n个线性无关解(基本解组)都可作所有解构成一个n维线性空间. 为这n维线性空间的基底. 对于非齐线性方程我们首先有两个简单的性质：性质1性质2方程(4.1)的任意两个解之差必为方程(4.2)的解.定理7(非齐方程通解结构)是方程(4.1)的某一解，则方程(4.1)的通解是方程(4.1)的通解具有形式解组则(4.2)的通解是由于方程(4.1)与(4.2)关系密切，我们希望非齐线性我们有定理8 方程组解出的积分得代入(4.16)，得非齐线性方程(4.1)的通解程的基本解组是cost , sint.解 用常数变易法.令通解形式解得积分得代入上面，得通解解积分得再积分，得(2) 用常数变易法求原方程的等价方程的通解. 令它的通解形式为解出于是代入通解形式，得原方程通解§4.2 线性微分方程的解法 4.2.1 实变量复值函数———预备知识4.2.2 常系数线性方程的解法4.2.3 求变系数齐线性方程特解的幂级数法1. 实变量复值指数函数的定义：可推出2. 实变量复值函数极限定义：连续定义：4.2.1 实变量复值函数———预备知识导数定义：3. 导数的四则运算：5. 结论实变量复值函数的极限、连续、导数定义用其实部、虚部的实定义；实变量复值函数导数的运算规则与实变量实值函数完全类似；实变量复值指数函数具有与实值指数函数相应的运算性质.定理9 若齐线性方程(4.2)中所有系数是它的复值解，则定理10 非齐线性微分方程和的解.4.2.2 常系数线性方程的解法Ⅰ. 求常系数齐线性方程通解的特征根法Ⅱ. 求常系数非齐线性方程特解的比较系数法Ⅲ. Laplace 变换法Ⅰ. 求常系数齐线性方程通解的特征根法这时，方程为我们有理由希望它有指数函数形式的解代入方程，有的根. 这个方程称为(4.19)对应的 特征根. 特征方程,它的根称为1 特征根是单根的情形. 它们是线性无关的，从而组成方程的基本解组. 这时，若根成对出现)，它们对应方程(4.19)的两个实值解2 特征根有重根的情形. 个线性无关的解若其它的特征根方程(4.19)还有解它们一共 n 个解, 是线性无关的, 构成了(4.19)的基本解组.也是 k 重复根，我们将用以下的 2k 个实值解来替代：解对应的特征方程是它有根对应解四阶齐线性方程，有了 4 个线性无关的解，故通解为解写出特征方程即求得特征根故通解为解特征方程是特征根是故通解为欧拉方程可经变换化为常系数齐线性方程.解且有［附］代入原方程，化为它的特征方程是特征根是通解是故原方程通解为Ⅱ. 求常系数非齐线性方程特解的比较系数法讨论方程在实际应用中最广泛而常见的右端函数是数是 m .注意，这时代数方程(4.20)仍然称为(4.32)对应的特征方程. 式代入方程，用比较 t 的同次项系数来确定. 解对应的特征方程是方程(4.32)有如下形式的特解代入原方程，有比较 t 的同次项系数，得原方程通解为解特解形式为这是最重要的一步，其余略.解特征方程为式为其余步骤略.解法一不是特征根.故特解形式为代入原方程，化简得通解是解法二因为右端函数应用定理10的结论，先求方程的复值特解，再取其实部，就是 ... ...
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