课件74张PPT。第四章 一阶常微分方程组一、基本概念与通解的构成二、常系数线性微分方程组的解法§ 5.1 基本概念与通解的构成5.1.1 基本概念5.1.2 齐线性微分方程组的通解构成5.1.3 非齐线性微分方程组的通解构 成及解的常数变易公式5.1.1 基本概念1. n个一阶线性微分方程组成的“一阶线性方程组”满足(5.1)每一个方程的一组函数续函数.称为(5.1)的一个解.2. 方程组(5.1)的向量表达形式其中它们的连续、求导、积分，均落实到每个元素上.运算法则：(1) 加、减、乘均与相应的常矩阵、常向量相同；3. 初值问题和初值问题的解试验证向量是初值问题首先它满足初始条件：又按向量求导规定解4. n阶线性微分方程可化为一阶线性微分方程组n阶线性微分方程组的初值问题引进代换则有并且写成向量形式为两者关系：它就是(5.7)解；反之，若已知(5.7)的解将初值问题化为一阶方程组的初值问题. 解令且写成向量的形式为则有［注］一阶线性方程组不一定能化为一个高阶线性方程！5. 存在唯一性定理定理1试用逐次逼近法求方程组满足初始条件的第三次逼近解. 解5.1.2 齐线性微分方程组的通解构成定理2定理3Wronsky行列式定理4定理5定义解矩阵；再若这 n 个解是线性无推论基(本)解矩阵.试验证是方程组的基解矩阵. 再因解定理6（通解的构成）则(5.15)的通解是推论性质1性质2定理7（非齐线性方程组的通解构成）的通解是5.1.3 非齐线性微分方程组的通解构成及解的常数变易公式定理8给出. (5.27)称为非齐线性微分方程组(5.14)解的常数变易公式，它由常数变易法推导而得. 试用常数变易公式(5.27)求初值问题的解. 在例4中，已知解按公式(5.27)，有§5.2 常系数线性微分方程组的解法5.2.1 常系数齐线性方程组的解法5.2.2 常系数非齐线性方程组的解法1. 待定系数法（补充）2. 消元法（补充）3. 拉氏变换法1. 待定系数法（补充）2. 常数变易法3. 拉氏变换法4. 标准基解矩阵5.2.1 常系数齐线性方程组的解法1. 待定系数法待定系数法是解常系数线性微分方程常用的方法，它理论简明，便于记忆，运算初等但有时较繁. 具体步骤是：写出特征方程的解，将它代入方程组 (5.33) ，比较 t 的同次幂系数得诸组(5.33)有形如特征方程为代入方程组，得比较上式两边 t 的同次幂系数，得解代入形式解中，得方程组通解特征方程为解代入方程组，得四个方程只有两个是独立的，即2. 消元法这个方法的思想来自代数方程组的消元法, 有时运算较简便，适用性较广. 具体步骤是：成代数方程组；(2) 应用克莱默(Cramer) 法则消元，得到多个只含一个变元的方程———高阶常系数齐线性微分方程, 求出若干个这种方程的通解；(3) 把上述通解再代入原方程组中适当的方程，求出余下变元的解；(4) 最后将得到的一切变元的解凑成方程组的通解. 以最简单的方程组记我们可由这里的第一个方程求出 x(t) 的通解，代入原方程组的通解. 记解二阶方程它对应的特征方程解将它代入原方程组的第一个方程，得这就是与例1所得完全一致的通解了. 3. 拉氏变换法对方程组的拉氏变换法与高阶常系数线性方程所用的拉氏变换法思路是一样的. 在应用原函数的微分公式时，把初值以任意常向量代替，则可得通解. 在例子中还可看到，用此法解方程组的初值问题，其优越性更为突出. 对方程组两边取拉氏变换即解计算出所以再反查拉氏表，得通解有例1，例3的同样形式求非标准型的常系数线性微分方程组取拉氏变换，有计算出解因此有反查拉氏表，就得初值问题的解[附]矩阵又称它为标准基本解矩阵. 因为定义所以故它是(5.33)的基解矩阵. 试用拉氏变换法求方程组对方程组取拉氏变换，得即其中解初值向量计算出反查拉氏表，得一个解向量反查拉氏表，得第二个解向量反查拉氏表，得第三个解向量这样，我们就得基本解矩 ... ...
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