惠州市2020届高三第一次调研考试 惠州市2020届高三第一次调研考试 理科数学参考答案及评分细则 一、选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B A B A C B C D D A B C 1．【解析】由中不等式得，解得，即，，故选B． 2．【解析】由，得， ∴，解得，∴．故选A． 3．【解析】由频率分布直方图可得，320名学生中每周的自习时间不足小时的人数 是人．故选B． 4．【解析】除甲乙外，其余5个排列数为种，再用甲乙去插6个空位有种，不同的排法种 数是种，故选A. 5．【解析】因为点是的中点，所以，点是的中点，所以， 所以，故选C． 6．【解析】由题意得．由得， ∴，∴．又，∴．故选B． 7.【解析】因为抛物线的焦点为(1,0), 所以解得 ，双曲线方程为.故选C. 8．【解析】函数的图象向左平移个单位后，得到函数的图象， 为偶函数，排除A；的周期为，排除B； 因为，所以的图象不关于直线对称，排除C. 故选D． 9．【解析】对于A，若存在一条直线，∥，∥，则∥或与相交，若∥，则存在一条直线，使得∥，∥β，所以选项A的内容是∥的一个必要条件；同理，选项B，C的内容也是∥的一个必要条件而不是充分条件；对于D，可以通过平移把两条异面直线平移到一个平面中，成为相交直线，则有∥，所以选项D的内容是∥的一个充分条件。故选D。 10．【解析】由题意得点的坐标为，设点的坐标，点的坐标， 所以向量：，， 由向量线性关系可得：，，解得：， 代入抛物线方程可得：，则， 由两点之间的距离公式可得：．故选A． 11．【解析】 由题意，120对都小于1的正实数，满足，面积为1， 两个数能与1构成钝角三角形的三边的数对，满足且，面积为， ∵统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对的个数为， 则，∴，故选B． 12．【解析】∵， ∴， ∴，∴函数是偶函数，∴当时，易得为增函数， ∴，， ∵，，，∴，∴，故选C． 二．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．7 14． 15． 16． 13．【解析】y＝4x＋＝(4x－5)＋＋5≥2＋5＝7.当且仅当4x－5＝，即x＝时取等号． 14．【解析】由题意得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos B＝2＋9－6·＝5， 即AC＝，则＝，＝，得sin A＝. 15．【解析】设等差数列的公差为，则， 因为，所以，整理得， ． 16．【解析】如图所示，由外接球的表面积为，可得外接球的半径为，则 设，则，又变式上的高， 当平面时，棱锥的体积最大， 此时， 当时，体积最大，此时最大值为. 三．解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60分。 17．（本小题满分12分） 解：（1）由正弦定理可得 ……………………1分 化简得， ……………………2分 由余弦定理得， ……………4分 又因为，……………………………5分（注1：无此步骤，本得分点不能给分） 所以． …………………………………………………………………………6分 （2）解法一：由正弦定理得， ………8分 由余弦定理得， …………9分 即，（当且仅当时取等号） ………………………………10分 故（当且仅当时取等号）．……11分 即面积的最大值为 ……12分（注2：无此步骤，本得分点不能给分） （注3：最大值正确但无取等号的说明，扣1分） 解法二：由正弦定理：，∴ ， ………………7分 ∵,∴ ………8分 ∴ ………………………9分 …………………10分 ∵，∴当，即时，…………………………………11分 即面积的最大值为 …………………………………………12分 （注：本题解题过程的缺少“”（4分点）和“”（11分点）不重复扣分） 18.（本小题满分12分） （1）证明：因为平面，平面， 所以.…………1分 由得为等腰直角三角形， 故．………………2 ... ...
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