《解三角形》全章知识复习与巩固 【学习目标】 1.正弦定理和余弦定理 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题 2.应用 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题 【知识网络】 【要点梳理】 要点一：正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等，即： 要点诠释： （1）正弦定理适合于任何三角形，且（为的外接圆半径）； （2）应用正弦定理解决的题型：①已知两角和一边，求其它②已知两边和一边的对角，求其它． （3）在已知两边和一边的对角，求其它的类型中，可能出现无解、一解或两解，应结合“三角形中大边对大角”定理及几何作图来帮助理解. 要点二：余弦定理 在△ABC中， ，， 变形为： ，， 要点诠释： （1）应用余弦定理解决的题型：①已知三边，求各角②已知两边和一边的对角，求其它③已知两边和夹角，求其它； （2）正、余弦定理的实质是一样的，从而正弦定理能解的问题余弦定理也一定能解，反之亦然；只是方便程度有别； （3）正、余弦定理可以结合使用. 要点三：三角形的面积公式 (1) ，其中为边上的高 (2) （3），其中 要点四：三角形形状的判定方法 设△ABC的三边为a、b、c，对应的三个角为A、B、C， 解斜三角形的主要依据是： （1）角与角关系：由于A+B+C = π，所以sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=－cosC；tan(A+B)=－tanC；； （2）边与边关系：a + b > c，b + c > a，c + a > b，a－b < c，b－c < a，c－a < b； （3）边与角关系：正弦定理、余弦定理 常用两种途径： （1）由正余弦定理将边转化为角； （2）由正余弦定理将角转化为边. 要点诠释：①化简中将三角形内角和、三角同角基本关系式、诱导公式、两角和与差的三角公式等综合结合起来.②在△ABC中，熟记并会证明：∠A，∠B，∠C成等差数列的充分必要条件是∠B=60°；△ABC是正三角形的充分必要条件是∠A，∠B，∠C成等差数列且a，b，c成等比数列. 要点五：解三角形应用的分类 （1）距离问题：一点可到达另一点不可到达；两点都不可到达； （2）高度问题（最后都转化为解直角三角形）； （3）角度问题； （4）面积问题. 【典型例题】 类型一：正、余弦定理的基本应用 例1.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，A+C＝2B． (1)求cos B的值； (2)若b2＝ac，求sin A sin C的值． 【思路点拨】由题设“A+C＝2B”易知B＝60°，又由边之间的关系“b2＝ac”，如何求“sin A sin C”的值？正、余弦定理的运用都可以求出值. 【解析】(1)由已知2B＝A+C，A+B+C＝180°，解得B＝60°，所以． (2)解法一：由已知，及， 根据正弦定理得， 所以． 解法二：由已知，及，根据余弦定理得， 解得a＝c，所以A＝C＝B＝60°，故． 【总结升华】利用正弦定理和余弦定理求解三角形中的边、角等基本量是考试的重点，注意灵活利用三角形中的内角和定理，实现角的互化，灵活利用正、余弦定理的变形. 举一反三： 【变式1】在△ABC中，a＝1，b＝2，，则c＝ ；sinA＝ ． 【答案】∵在△ABC中，a＝1，b＝2，， ∴由余弦定理得：c2＝a2＋b2－2abcosC＝1＋4－1＝4，即c＝2； ∵，C为三角形内角， ∴ ∴由正弦定理得：． 故答案为：2； 【变式2】在△ABC中,若,,,则_____. 【答案】在中,得用余弦定理 ,化简得,与题目条件联立,可解得. 故答案为. 类型二：正、余弦定理的综合应用 例2. 在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且a＞c，已知＝2，cosB＝，b＝3，求：(Ⅰ)a和c的值；(Ⅱ)cos(B－C)的值． 【答案】(Ⅰ) a＝3，c＝2，(Ⅱ)． 【思路点拨】（1）由平面向量的数量积，易求出ac=6,然后利用余弦定理求出即可；（2）画出简易图，将已知条件在图上标出来，运用正弦定理求得角的正弦值. 【解析】(Ⅰ)∵＝2 ... ...
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