不等关系与不等式 【学习目标】 1．了解实数运算的性质与大小顺序之间的关系. 2．会用差值法比较两实数的大小； 3．掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题. 【要点梳理】 要点一、符号法则与比较大小 实数的符号： 任意，则（为正数）、或（为负数）三种情况有且只有一种成立。 两实数的加、乘运算结果的符号具有以下符号性质： ①两个同号实数相加，和的符号不变 符号语言：； ②两个同号实数相乘，积是正数 符号语言：； ③两个异号实数相乘，积是负数 符号语言： ④任何实数的平方为非负数，0的平方为0 符号语言：，. 比较两个实数大小的法则： 对任意两个实数、 ①； ②； ③. 对于任意实数、,,,三种关系有且只有一种成立。 要点诠释：这三个式子实质是运用实数运算来比较两个实数的大小关系。它是本章的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据。 要点二、不等式的性质 不等式的性质可分为基本性质和运算性质两部分 基本性质有： (1) 对称性： (2) 传递性： (3) 可加性： (c∈R) (4) 可乘性：a>b， 运算性质有： (1) 可加法则： (2) 可乘法则： (3) 可乘方性： (4) 可开方性： 要点诠释：不等式的性质是不等式同解变形的依据. 要点三、比较两代数式大小的方法 作差法： 任意两个代数式、，可以作差后比较与0的关系，进一步比较与的大小。 ①； ②； ③。 作商法： 任意两个值为正的代数式、，可以作商后比较与1的关系，进一步比较与的大小。 ①； ②； ③. 中间量法： 若且，则（实质是不等式的传递性）.一般选择0或1为中间量. 利用函数的单调性比较大小 若两个式子具有相同的函数结构，可以利用相应的基本函数的单调性比较大小. 作差比较法的步骤： 第一步：作差； 第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化为“积”； 第三步：定号，就是确定差是大于、等于还是小于0； 最后下结论。 要点诠释：“三步一结论”。这里“定号”是目的，“变形”是关键过程。 【典型例题】 类型一：用不等式表示不等关系 例1.某人有楼房一幢，室内面积共，拟分割成大、小两类房间作为旅游客房，大房间面积为， 可住游客5人，每名游客每天住宿费40元；小房间每间面积为，可住游客3人，每名游客每天住宿费50元；装修大房间每间需要1000元，装修小房间每间需要600元，如果他只能筹款8000元用于装修，试写出满足上述所有不等关系的不等式. 【思路点拨】把已知条件用等式或不等式列出来（代数化），把目标用代数式表示，再研究条件和目标的关系。 【解析】假设装修大、小客房分别为间，间，根据题意，应由下列不等关系： 总费用不超过8000元 总面积不超过； 大、小客房的房间数都为非负数且为正整数. 即有： 即 此即为所求满足题意的不等式组 【总结升华】求解数学应用题的关键是建立数学模型，只要把模型中的量具体化，就可以得到相应的数学问题，然后运用数学知识、方法、技巧等解决数学问题。在解决实际问题时，要注意变量的取值范围. 举一反三： 【变式】某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本。若把提价后杂志的定价设为x 元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？ 【答案】设杂志社的定价为x?元，则销售的总收入为/ 万元，那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式 / 类型二：不等式性质的应用 例2．对于实数a,b,c判断以下命题的真假 （１）若a>b, 则acbc2，则a>b; （３）若aab>b2; （４）若a|b|; （５）若a>b, >, 则a>0, b<0． 【思路点拨】本类题一般采用不等式性质法或者比差法。 【解析】 （１）因为c的符号不定，所以 ... ...
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