` 在北京中考试卷中，代数综合题出现在第23题左右，分值为7分，主要以方程、函数这两部分为考查重点，会涉及到四大数学思想：转化（化归）思想、分类讨论思想、方程（函数）思想、数形结合思想．也会考查代数式的恒等变形，比如代入法、待定系数法、降次法、配方法等． 已知是关于的一元二次方程的根． ⑴ 若，、为有理数，求的值． ⑵ 若，，求的值． ⑶ 若，，求的范围． ⑴ 把代入方程①得 ∴，，∴ ⑵ 方法一：把，代入方程①得 即 ，即，∴ ∴，∴，故． 方法二：把，代入方程①得 ∴，，故． ⑶ 把，代入得 ，即 ∴ ∴且． 这道例题和备选主要复习配方法和代入降次等方法. 已知关于的一元二次方程，，. ⑴ 若方程有实数根，试确定，之间的大小关系； ⑵ 若，且，求，的值； ⑶ 在⑵的条件下，二次函数的图象与轴的交点为、（点在点的左侧），与轴的交点为，顶点为.若点是四边形边上的点，试求的最大值. ⑴∵关于的一元二次方程有实数根, ∴有,. ∵. ∴,. ∴. ⑵ ∵，∴设. 解关于的一元二次方程，得 或. 当时，由得. 当时，由得（不合题意，舍去）. ∴(舍去)，.∴. ⑶ 当时，二次函数与轴的交点为、与轴交点坐标为，顶点坐标为.设，则. 画出函数和的图象，若直线平行移动时，可以发现当 直线经过点时符合题意，此时最大的值等于. 已知关于的方程①有实根． ⑴ 求的取值范围； ⑵ 在⑴的条件下，若是不大于5的整数，且方程①的根为整数，求满足条件的的值； ⑶ 求证：无论取何值，抛物线必经过一个定点； ⑷ 一次函数经过⑶中的定点，且无论取何值，与 均只有一个交点，求的值． ⑴ ①当时，原方程化为，则，有实根； ②当时，，∴． 综上所述，的取值范围是． ⑵ 由条件可知且为整数，∴ 当时，方程无整数根； 当时，， ∵，，∴，∴或或， 又是整数，∴或，但时方程无整数根， ∴． ⑶ ，由题意可知 ，则，此时， ∴无论取何值，抛物线必经过定点． ⑷ 由⑶可知，一次函数经过点，∴，即， ∴直线化为， 联立得，消整理得， 解得，， ∵只有一个交点，∴，∴． 一元二次方程的两根是抛物线与轴的两个交点的横坐标． ⑴ 求的值． ⑵ 若抛物线过点且，求抛物线的解析式； ⑶ 在⑵的条件下，若反比例函数的图象与抛物线的图象在第一象限内的交点为，点的横坐标满足，试求实数的取值范围． ⑴ 原方程可化为，且， ∴， ∴ ⑵ 把，，代入得 ，解得，∵，∴ 二次函数的解析式为． ⑶ 由函数图象和函数性质可知：当时， 对，随着增大而增大，对，随着的增大而减小．因为为二次函数图象与反比例函数图象的交点， 所以当时，由反比例函数图象在二次函数上方得 即，解得． 同理，当时，由二次函数数图象在反比例上方得， 即，解得．所以的取值范围为． 已知点A（a，）、B（2a，y）、C（3a，y）都在抛物线上. ⑴ 求抛物线与x轴的交点坐标； ⑵ 当a=1时，求△ABC的面积； ⑶ 是否存在含有、y、y，且与a无关的等式？如果存在，试给出一个，并加以证 明；如果不存在，请说明理由. （2013昌平二模） 【解析】（1）由=0，得，． ∴抛物线与x轴的交点坐标为（0，0）、（，0）． （2）当a=1时，得A（1，0）、B（2，1）、C（3，3）， 分别过点B、C作x轴的垂线，垂足分别为E、F，则有 = - - =（个单位面积） （3）如： ． ∵，， ， 又∵3（）= =． ∴． 已知抛物线． ⑴ 求证：无论k为任何实数，该抛物线与x轴都有两个交点； ⑵ 在抛物线上有一点P（m，n），n<0，OP=，且线段OP与x轴正半轴所夹锐角的 正弦值为，求该抛物线的解析式； ⑶ 将⑵中的抛物线x轴上方的部分沿x轴翻折，与原图象的另一部分组成一个新的图 形M，当直线与图形M有四个交点时，求b的取值范围. (2013昌平一模) 【解析】⑴ 当y=0时，得. ∵. ∵， ∴. ∴无论k为任何实数 ... ...
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