复数的概念与运算 【学习目标】 1．理解复数的有关概念：虚数单位i、虚数、纯虚数、复数、实部、虚部等。 2．理解复数相等的充要条件。 3. 理解复数的几何意义，会用复平面内的点和向量来表示复数。 4. 会进行复数的加、减运算，理解复数加、减运算的几何意义。 5. 会进行复数乘法和除法运算。 【要点梳理】 知识点一：复数的基本概念 1.虚数单位/ 数/叫做虚数单位，它的平方等于/，即/。 要点诠释： ①/是－1的一个平方根，即方程/的一个根，方程/的另一个根是/； ②/可与实数进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立。 2. 复数的概念 形如/（/）的数叫复数，记作：/（/）； 其中：/叫复数的实部，/叫复数的虚部，/是虚数单位。全体复数所成的集合叫做复数集，用字母/ 表示。 要点诠释： 复数定义中，/容易忽视，但却是列方程求复数的重要依据. 3.复数的分类 对于复数/（/） 若b=0,则a+bi为实数，若b≠0,则a+bi为虚数，若a=0且b≠0，则a+bi为纯虚数。 分类如下： /（/）/ 用集合表示如下图： / 4.复数集与其它数集之间的关系 /////////（其中/为自然数集，/为整数集，/为有理数集，/为实数集，/为复数集。） 知识点二：复数相等的充要条件 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等.即： 如果/，那么/ 特别地：/. 要点诠释： 一个复数一旦实部、虚部确定，那么这个复数就唯一确定；反之一样. 根据复数a+bi与c+di相等的定义，可知在a=c，b=d两式中，只要有一个不成立，那么就有 a+bi≠c+di（a，b，c，d∈R）． 一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小. 如果两个复数都是实数，就可以比较大 小；也只有当两个复数全是实数时才能比较大小. 复数相等的充要条件提供了将复数问题化归为实数问题来解决的途径，这也是本章常用的方法， 简称为“复数问题实数化”． 知识点三、复数的加减运算 1.复数的加法、减法运算法则： 设/，/（/），我们规定： / / 要点诠释： （1）复数加法中的规定是实部与实部相加，虚部与虚部相加，减法同样。很明显， 两个复数的和（差）仍然是一个复数，复数的加（减）法可以推广到多个复数相加（减）的情形． （2）复数的加减法，可模仿多项式的加减法法则计算，不必死记公式。 2.复数的加法运算律: 交换律：z1+z2=z2+z1 结合律:：(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3) 知识点四、复数的乘除运算 1．共轭复数： 当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数。 通常记复数/的共轭复数为/。 2．乘法运算法则： 设/，/（/），我们规定： / / 要点诠释： 1. 两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数. 2. 在进行复数除法运算时，通常先把除式写成分式的形式，再把分子与分母都乘以分母的共轭复数(分母实数化)，化简后写成代数形式。 3．乘法运算律： (1)交换律：z1(z2z3)=(z1z2)z3 (2)结合律：z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 (3)分配律：z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 知识点五、复数的几何意义 1. 复平面、实轴、虚轴： 如图所示，复数/（/）可用点/表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，/轴叫做实轴，/轴叫做虚轴. / 要点诠释： 实轴上的点都表示实数.除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数. 2.复数集与复平面内点的对应关系 按照复数的几何表示法，每一个复数有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应。 复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即 复数//复平面内的点/ 这是复数的一种几何意义。 3.复数集与复平面中的向量 ... ...
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