2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 【教学目标】 （1）了解空间中两条直线的位置关系； （2）理解异面直线的概念、画法，培养学生的空间想象能力； （3）理解并掌握公理4； （4）理解并掌握等角定理； （5）异面直线所成角的定义、范围及应用。 【教学重难点】 重点：1、异面直线的概念； 2、公理4及等角定理。 难点：异面直线所成角的计算。 【教学过程】 （一）创设情景、导入课题 问题1： 在平面几何中，两直线的位置关系如何？ 问题2：没有公共点的直线一定平行吗？ 问题3：没有公共点的两直线一定在同一平面内吗？ 1、通过身边诸多实物，引导学生思考、举例和相互交流得出 异面直线的概念：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。 2、师：那么，空间两条直线有多少种位置关系？（板书课题） （二）讲授新课 1、教师给出长方体模型，引导学生得出空间的两条直线有如下三种关系： 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 平行直线：同一平面内，没有公共点； 异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。 思考：如图所示：正方体的棱所在的直线中，与直线AB异面的有哪些？ 2、教师再次强调异面直线不共面的特点，介绍异面直线的作图，如下图： 3、（1）师：在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行。在空间中，是否有类似的规律？ 组织学生思考： 长方体ABCD-A'B'C'D'中， BB'∥AA'，DD'∥AA'， BB'与DD'平行吗？ 生：平行。 再联系其他相应实例归纳出公理4 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为：设a、b、c是三条直线 a∥b c∥b 强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。 公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。 例1空间四边形 ABCD中，E.F.G.H分别是AB.BC.CD.DA的中点 求证：四边形EFGH是平行四边形 证明：连接BD 因为EH是△ABD的中位线，所以EH∥BD且EH=BD 同理FG∥BD且FG=BD 因为EH∥FG且EH=FG 所以四边形 EFGH是平行四边形 点评：例2的讲解让学生掌握了公理4的运用 变式：在例1中如果加上条件AC=BD，那么四边形EFGH是什么图形？ 4、组织学生思考教材P46的思考题 让学生观察、思考： ∠ADC与A'D'C'、∠ADC与∠A'B'C'的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？ 生：∠ADC = A'D'C'，∠ADC + ∠A'B'C' = 1800 教师画出更具一般性的图形，师生共同归纳出如下定理 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。 教师强调：并非所有关于平面图形的结论都可以推广到空间中来。 5、以教师讲授为主，师生共同交流，导出异面直线所成的角的概念。 （1）师：如图，已知异面直线a、b，经过空间中任一点O作直线a'∥a、b'∥b，我们把a'与b'所成的锐角（或直角）叫异面直线a与b所成的角（夹角）。 （2）强调： ① a'与b'所成的角的大小只由a、b的相互位置来确定，与O的选择无关，为了简便，点O一般取在两直线中的一条上； ② 两条异面直线所成的角θ∈(0， )； ③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a⊥b； ④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形； ⑤ 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。 例2已知正方体ABCD-A1B1C1D1, 哪些棱所在直线与直线BA1是异面直线？ 哪些棱所在的直线与AA1垂直？ 解析：考察异面直线的理解 解：（1）棱AD.DC.CC1.DD1.D1C1.B1C1所在直线分别与直线BA1是异面直线 （2）直线AB.BC.CD.DA.A1B1.B1C1.C1D1.D1A1分别与AA1垂直 点评：理解异面直线，垂直包括相交垂直与异面垂直 变式：在正方体ABCD-A'B'C'D'的所有棱中，与BD'成异面直线的有 _____ 条。（6条） 【板书设计】 一、空间中两条直线的 ... ...
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