第一节 数列的概念及其简单表示法 1．数列的有关概念 概念 含义 数列 按照一定顺序排列的一列数 数列的项 数列中的每一个数 数列的通项 数列{an}的第n项an 通项公式 数列{an}的第n项an与n之间的关系能用公式an＝f(n)表示，这个公式叫做数列的通项公式 前n项和 数列{an}中，Sn＝a1＋a2＋…＋an叫做数列的前n项和 2．数列的表示方法 列表法 列表格表示n与an的对应关系 图象法 把点(n，an)画在平面直角坐标系中 公式法 通项公式 把数列的通项使用公式表示的方法 递推公式 使用初始值a1和an＋1＝f(an)或a1，a2和an＋1＝f(an，an－1)等表示数列的方法 3．an与Sn的关系 若数列{an}的前n项和为Sn， 则an＝ 4．数列的分类 [小题体验] 1．数列－1，，－，，…的一个通项公式是_____． 解析：－1＝－，数列1,4,9,16，…对应通项n2，数列1,3,5,7，…对应通项2n－1，数列－1,1，－1,1，…对应通项(－1)n，故an＝(－1)n·. 答案：an＝(－1)n· 2．已知数列满足an＝4an－1＋3，且a1＝0，则a5＝_____. 解析：a2＝4a1＋3＝3，a3＝4a2＋3＝15，a4＝4a3＋3＝63，a5＝4a4＋3＝255. 答案：255 3．数列{an}的通项公式为an＝－n2＋9n，则该数列第_____项最大． 答案：4或5 4．若数列的前n项和Sn＝n2＋3n，则＝_____. 解析：∵数列的前n项和Sn＝n2＋3n， ∴a1＋a2＋a3＝S3＝32＋3×3＝18， ∵a4＋a5＋a6＝S6－S3＝36，∴＝2. 答案：2 1．易混项与项数的概念，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号． 2．在利用数列的前n项和求通项时，往往容易忽略先求出a1，而是直接把数列的通项公式写成an＝Sn－Sn－1的形式，但它只适用于n≥2的情形． [小题纠偏] 1．已知数列{an}的前n项和Sn＝2n－3，则数列{an}的通项公式是_____． 解析：当n＝1时，a1＝S1＝2－3＝－1， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n－3)－(2n－1－3)＝2n－2n－1＝2n－1. 又a1＝－1不适合上式，故an＝ 答案：an＝ 2．若数列的前n项和Sn＝an＋，则的通项公式an＝_____. 解析：由Sn＝an＋得，当n≥2时，Sn－1＝an－1＋， 两式相减，得an＝an－an－1， ∴当n≥2时，an＝－2an－1，即＝－2. 又n＝1时，S1＝a1＝a1＋，a1＝1， ∴数列{an}是以1为首项，－2为公比的等比数列， ∴an＝(－2)n－1. 答案：(－2)n－1 [题组练透] 1．若an＝n2＋λn＋3(其中λ为实常数)，n∈N*，且数列为单调递增数列，则实数λ的取值范围是_____． 解析：法一：(函数观点)因为为单调递增数列，所以an＋1＞an，即(n＋1)2＋λ(n＋1)＋3＞n2＋λn＋3，化简为λ＞－2n－1对一切n∈N*都成立，所以λ＞－3. 故实数λ的取值范围是(－3，＋∞)． 法二：(数形结合法)因为为单调递增数列，所以a1＜a2，要保证a1＜a2成立，二次函数f(x)＝x2＋λx＋3的对称轴x＝－应位于1和2中点的左侧，即－＜，亦即λ＞－3，故实数λ的取值范围是(－3，＋∞)． 答案：(－3，＋∞) 2．已知数列{an}的通项公式an＝(n＋1)0.9n，求n为何值时，an取得最大值． 解：因为a1＝2×0.9＝1.8，a2＝3×0.81＝2.43， 所以 a1＜a2， 所以 a1不是数列{an}中的最大项．设第n项an的值最大， 则即解得 所以当n为8或9时，an取得最大值． [谨记通法] 求数列中最大或最小项的2种方法 (1)单调性法：可以借助于函数的单调性来研究数列的最值问题．有时可利用作差或作商比较法来探究数列的单调性． (2)不等式组法：若满足则an为数列{an}中的最大项；若满足则an为数列{an}中的最小项． [典例引领] 已知下面数列{an}的前n项和Sn，求{an}的通项公式． (1)Sn＝2n2－3n； (2)Sn＝3n＋b. 解：(1)a1＝S1＝2－3＝－1， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5， 由于a1也适合此等式，所以an＝4n－5. (2)a1＝S1＝3＋b， 当n≥ ... ...
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