点到直线的距离 【教学目标】 1.让学生掌握点到直线的距离公式，并会求两条平行线间的距离. 2.引导学生构思距离公式的推导方案，培养学生观察、分析、转化、探索问题的能力，鼓励创新.培养学生勇于探索、善于研究的精神，学会合作. 【重点难点】 教学重点:点到直线距离公式的推导和应用. 教学难点:对距离公式推导方法的感悟与数学模型的建立. 【教学过程】 导入新课 思路1.点P(0,5)到直线y=2x的距离是多少？更进一步在平面直角坐标系中,如果已知某点P的坐标为(x0,y0),直线l的方程是Ax+By+C=0,怎样由点的坐标和直线的方程直接求点P到直线l的距离呢?这节课我们就来专门研究这个问题. 思路2.我们已学习了两点间的距离公式，本节课我们来研究点到直线的距离.如图1,已知点P(x0,y0)和直线l:Ax+By+C=0，求点P到直线l的距离(为使结论具有一般性，我们假设A、B≠0). 图1 新知探究 提出问题 ①已知点P(x0,y0)和直线l:Ax+By+C=0，求点P到直线l的距离.你最容易想到的方法是什么?各种做法的优缺点是什么? ②前面我们是在A、B均不为零的假设下推导出公式的，若A、B中有一个为零，公式是否仍然成立？ ③回顾前面证法一的证明过程，同学们还有什么发现吗？(如何求两条平行线间的距离) 活动： ①请学生观察上面三种特殊情形中的结论: (ⅰ)x0=0,y0=0时，d=；(ⅱ)x0≠0,y0=0时，d=； (ⅲ)x0=0,y0≠0时，d=. 观察、类比上面三个公式，能否猜想：对任意的点P(x0,y0)，d=? 学生应能得到猜想：d=. 启发诱导：当点P不在特殊位置时，能否在距离不变的前提下适当移动点P到特殊位置，从而可利用前面的公式？(引导学生利用两平行线间的距离处处相等的性质，作平行线，把一般情形转化为特殊情形来处理) 证明：设过点P且与直线l平行的直线l1的方程为Ax+By+C1=0，令y=0，得P′(,0). ∴P′N=. (*) ∵P在直线l1:Ax+By+C1=0上, ∴Ax0+By0+C1=0.∴C1=-Ax0-By0. 代入(*)得|P′N|= 即d=,. ②可以验证，当A=0或B=0时，上述公式也成立. ③引导学生得到两条平行线l1:Ax+By+C1=0与l2:Ax+By+C2=0的距离d=. 证明：设P0(x0,y0)是直线Ax+By+C2=0上任一点，则点P0到直线Ax+By+C1=0的距离为d=. 又Ax0+By0+C2=0,即Ax0+By0=-C2，∴d=. 讨论结果：①已知点P(x0,y0)和直线l:Ax+By+C=0，求点P到直线l的距离公式为d=. ②当A=0或B=0时，上述公式也成立. ③两条平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0的距离公式为d=. 应用示例 例1 求点P0(-1，2)到下列直线的距离： (1)2x+y-10=0;(2)3x=2. 解:(1)根据点到直线的距离公式得d=. (2)因为直线3x=2平行于y轴，所以d=|-(-1)|=. 点评：例1(1)直接应用了点到直线的距离公式，要求学生熟练掌握；(2)体现了求点到直线距离的灵活性，并没有局限于公式. 变式训练 点A(a，6)到直线3x－4y=2的距离等于4，求a的值. 解:=4|3a-6|=20a=20或a=. 例2 已知点A(1，3)，B(3，1)，C(-1，0)，求△ABC的面积. 解:设AB边上的高为h，则S△ABC=|AB|·h. |AB|=， AB边上的高h就是点C到AB的距离. AB边所在的直线方程为,即x+y-4=0. 点C到x+y-4=0的距离为h=， 因此，S△ABC=×=5. 点评：通过这两道简单的例题，使学生能够进一步对点到直线的距离理解应用，能逐步体会用代数运算解决几何问题的优越性. 变式训练 求过点A(-1,2),且与原点的距离等于的直线方程. 解:已知直线上一点，故可设点斜式方程，再根据点到直线的距离公式,即可求出直线方程为x＋y－1=0或7x＋y＋5=0. 例3 求平行线2x-7y+8=0和2x-7y-6=0的距离. 解:在直线2x-7y-6=0上任取一点,例如取P(3,0),则点P(3,0)到直线2x-7y+8=0的距离就是两平行线间的距离.因此, d=. 点评:把求两平行线间的距离转化为点到直线的距离. 变式训练 求两平行线l1:2x+3y-8=0,l2:2x+3y-10=0的距离. 答案：. 解:点O(0，0)关于直线l:2x-y+1=0的对称点 ... ...
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