直线与双曲线的位置关系 【学习目标】 1.能正熟练使用直接法、待定系数法、定义法求双曲线的方程； 2.能熟练运用几何性质（如范围、对称性、顶点、离心率、渐近线）解决相关问题； 3.能够把直线与双曲线的位置关系的问题转化为方程组解的问题，判断位置关系及解决相关问题. 【知识网络】 【要点梳理】 要点一、双曲线的定义及其标准方程 双曲线的定义 在平面内，到两个定点、的距离之差的绝对值等于常数（大于0且）的动点的轨迹叫作双曲线.这两个定点、叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距. 双曲线的标准方程： 焦点在x轴上的双曲线的标准方程 说明：焦点是F1(-c，0)、F2(c，0)，其中c2=a2-b2 焦点在y轴上的双曲线的标准方程 说明：焦点是F1(0，-c)、F2(0，c)，其中c2=a2-b2 要点诠释：求双曲线的标准方程应从“定形”、“定式”和“定值”三个方面去思考.“定形”是指对称中心在原点，以坐标轴为对称轴的情况下，焦点在哪条坐标轴上；“定式”根据“形”设双曲线方程的具体形式；“定量”是指用定义法或待定系数法确定a,b的值. 要点二、双曲线的几何性质 标准方程 图形 性质 焦点 ， ， 焦距 范围 ， ， 对称性 关于x轴、y轴和原点对称 顶点 轴 实轴长=，虚轴长= 离心率 渐近线方程 要点三、直线与双曲线的位置关系 直线与双曲线的位置关系 将直线的方程与双曲线的方程联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为Δ. 若即，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点； 若即， ①Δ＞0直线和双曲线相交直线和双曲线相交，有两个交点； ②Δ＝0直线和双曲线相切直线和双曲线相切，有一个公共点； ③Δ＜0直线和双曲线相离直线和双曲线相离，无公共点． 直线与双曲线的相交弦 设直线交双曲线于点两点，则 == 同理可得 这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形： 双曲线的中点弦问题 遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解. 在双曲线中，以为中点的弦所在直线的斜率； 涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来相互转化，同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍. 解题的主要规律可以概括为“联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”. 要点四、双曲线的实际应用与最值问题 对于双曲线的实际应用问题，我们要抽象出相应的数学问题，即建立数学模型，一般要先建立直角坐标系，然后利用双曲线定义，构建参数a,b,c之间的关系，得到双曲线方程，利用方程求解 双曲线中的最值问题，按照转化途径主要有以下三种： 利用定义转化 利用双曲线的几何性质 转化为函数求最值 【典型例题】 类型一：双曲线的方程与性质 例1.设F1、F2是双曲线1(a>0，b>0)的两个焦点，点P在双曲线上，若，且，其中，求双曲线的离心率． 【解析】由双曲线定义知，||PF1|－|PF2||＝2a， ∴|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝4a2， 又|PF1|2＋|PF2|2＝4c2，∴|PF1|·|PF2|＝2b2， 又，∴2ac＝2b2， ∴b2＝c2－a2＝ac，∴e2－e－1＝0，∴e＝， 即双曲线的离心率为. 【总结升华】根据双曲线的定义，几何性质，找到几何量的关系是解决这类问题的关键。 举一反三： 【变式1】 (2018 上海)已知点和的横坐标相同，的纵坐标是的纵坐标的2倍，和的轨迹分别为双曲线和，若的渐近线方程为，则的渐近线方程 . 【答案】 【解析】设点和的坐标为、，则有 又因为的渐近线方程为，故设的方程为， 把点坐标代入，可得，令，即为曲线的渐近线方程，即。 故答案为。 【变式2】设双曲线焦点在x轴上，两条渐近线为y＝±x，则该双曲线的离心率为( ) A．5 B. C. D. 【答案】C 类型二：直线与双曲线的位置关系 例2．已知双曲 ... ...
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