《对一类定值问题的探究》教学设计 学习目标： （1）熟练掌握直线与圆锥曲线中的求弦长问题； （2）通过对动点在圆、椭圆和双曲线不同曲线的讨论，掌握椭圆和双曲线上任意一点和关于原点对称两点的斜率之积为定值； （3）引导学生分析掌握此类定值问题和弦长问题的联系。 （4）用几何画板演示动点，展示变中的不变，引导学生思考总结解决定值问题的思路。 （4）提升应用数形结合的意识。 重点：弦长问题的不同求法，掌握解决此类定值问题的思路。 难点：代数式的化简变形，动态图形的切入点。 设置前置作业，使学生复习重点知识，为课堂讲解做准备 前置作业 1，已知圆的方程为： ，为其直径，点 是圆上异于的任意一点，设直线和直线的斜率分别是和则有= 从学熟悉的圆入手 2：已知椭圆的方程为:，其长轴的端点分别是，点是椭圆上异于的任意一点，设直线和直线的斜率分别是和则有= 拓展到椭圆，由特殊到一般的引导 3：已知椭圆的方程为: ，其短轴的端点分别是，点是椭圆上异于的任意一点，设直线和直线的斜率分别是和则有= 长轴顶点变为短轴顶点，继续变形 4：已知椭圆的方程为:，是椭圆上关于原点对称的两个点，点是椭圆上异于的任意一点，设直线和直线的斜率分别是和则有= 更具一般性，变为关于原点对称的两点。并由椭圆再拓展到双曲线。 类比椭圆可得：已知双曲线的方程为:，其左右顶点分别是，点是双曲线上异于的任意一点，设直线和直线的斜率分别是和则有= 以上由此可得 曲线方程（是其左右顶点） 的值 利用上面的解决解决常见的函数定值，并为后面例题做铺垫。 例题讲解 例1.如图，已知椭圆的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点为顶点的三角形的周长为.一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设为该双曲线上异于顶点的任一点，直线和与椭圆的交点分别为、和、 . （1）求椭圆和双曲线的标准方程； （2）设直线、的斜率分别为， ，证明为定值； （3）是否存在常数，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 学生到黑板展示第（1）（2）两问的过程，老师讲解点评，第（3）问共同讨论，并展示学生们的解题过程，就其中出现的各种常见问题进行分析，找出其原因，给学生指出解决问题的方法。从解决此类问题的心理压力疏导和解题的步骤过程中都给出一些的建设性指导建议。 几何画板展示问题的发生过程，强调在变中寻找不变的数学思想和数学结合的思路。 当发生变化时如何证明，引出例2，重点解决第（3）问。引导学生思考例1各种解法的优劣，在该题目中应如何选择，让学生展示其解题过程，就其中的问题进行点评。 例2．已知椭圆的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点为顶点的三角形的周长为.直线和与椭圆 的交点分别为、和、. （1）求椭圆和的标准方程；（2）设直线、的斜率分别为，，证明为定值； （3）求证：定值 (4)求的最大值． 就第（4）问出现的解法，引导学生思考，如果没有第（3）问如何求解此类问题。在问为什么会有第（3）问的条件，其成立的前提是什么？引导学生总结此类定值问题一般性结论 设置变式训练，其中变式1，2为例题的变形，是基础题，课上点明其与例题的联系，变式3为选做题目。均为课下作业，针对本节内容，对症下药。 思考：如果时，这样的结论还成立吗？ 变式1已知椭圆的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点为顶点的三角形的周长为.直线和与椭圆的交点分别为、和、. （Ⅰ）求椭圆的标准方程； （II）求证：定值 变式2已知椭圆的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点为顶点的三角形的周长为.直线和与椭圆的交点分别为、和、. （Ⅰ）求椭圆的标准方程； （Ⅱ）设直线、的斜率分别为， ，证明； （III）求证：定值 变式3（2019济南市二模改编）如图，已知抛物线的方 ... ...
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