三角函数的性质及其应用 【考纲要求】 1、了解函数的物理意义；能画出的图象，了解参数，，对函数图象变化的影响. 2、了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题. 【知识网络】 【考点梳理】 考点一、函数(,)的图象的作法 1.五点作图法： 作的简图时，常常用五点法，五点的取法是设，由取0、、、、来求相应的x值及对应的y值，再描点作图。 2．图象变换法： （1）振幅变换:把的图象上各点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0
0)或向右(<0)平行移动||个单位，得到的图象； （3）周期变换:把的图象上各点的横坐标缩短(ω>1)或伸长(0<ω<1)到原来的倍（纵坐标不变），可得到的图象. （4）若要作，可将的图象向上或向下平移个单位，可得到的图象．记忆方法仍为“左加右减，上正下负，纵伸(A>1)横缩(ω>1)”。 要点诠释： 由的图象利用图象变换作函数的图象时要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象沿x轴的伸缩量有区别. 考点二、的解析式 1. 的解析式 (, )，表示一个振动量时，叫做振幅，叫做周期，叫做频率，叫做相位，时的相位称为初相. 2. 根据图象求的解析式 求法为待定系数法，突破口是找准五点法中的第一零点. 求解步骤是先由图象求出与，再由算出，然后将第一零点代入求出. 要点诠释： 若图象未标明第一零点，就只能找特殊点用待定系数法计算. 考点三、函数(,)的性质 1. 定义域: ,值域:y∈[-A,A]. 2．周期性: 3. 奇偶性:时为偶函数；时为奇函数，. 4．单调性:单调增区间:[] , 单调减区间:[] , 5. 对称性:对称中心(,0)， ；对称轴x= ， 6．最值: 当即时，y取最大值A 当即时，y取最小值-A．(). 要点诠释： ①求周期、单调区间、最值时一般先将函数式化为，要特别注意、的正负，再把看作一个整体，并结合基本三角函数的图象和性质解出即可；利用单调性比较三角函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调区间； ②整体代换和数形结合是三角函数学习中重要的思想方法，在学习中，很多三角函数的问题都是通过整体代换并观察基本三角函数的图象而得到的。 【典型例题】 类型一、求函数(,)的单调区间 例1（2016 丰台区模拟）已知函数. (Ⅰ)求f（x）的最小正周期； (Ⅱ)当时，求函数f（x）的单调递减区间. 【解析】(Ⅰ) ，故f（x）的最小正周期为π. (Ⅱ)当时，函数f（x）单调递减， 即f（x）的递减区间为：， 由 所以f（x）的递减区间为：． 【总结升华】熟练掌握函数的单调区间的确定的方法.三角函数单调区间的确定，一般先将函数式化为基本三角函数的标准式，然后通过同解变形或利用数形结合的方法来求解. 举一反三： 【变式1】求下列函数的单调递增区间. （1），（2），（3）. 【解析】 （1）∵，∴递增区间为()； （2）画出的图象： 可知增区间为()； （3）函数在区间()上是增函数. 【变式2】函数的单调递减区间是（ ） A、 B、 C、 D、 【答案】C 【解析】函数， 故本题即求的增区间．由，可得C正确. 类型二、三角函数的图象变换及其性质 例2．已知函数． (Ⅰ)求的最小正周期； (Ⅱ)若函数的图象是由的图象向右平移个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的，当[，]时，求的最大值和最小值． 【解析】(Ⅰ) ， 所以函数的最小正周期为． (Ⅱ)依题意，[] 因为，所以． 当，即时，取最大值； 当，即时，取最小值． 【总结升华】本题的关键之处是正确写出函数图象平移后的解析式. 举一反三： 【变式1】由的图象得到的图象需要向 平移 个单位. 【答案】左，； 【解析】∵， ∴由的图象得到的图象需要向左平移个单位. 【变式2】函数的图象可由的图像经过怎样的变换得到( ) A．向左平移个单位 ... ... 
