三角恒等变换 【考纲要求】 1、会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式. 2、能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式. 3、能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系. 4、能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）. 【知识网络】 【考点梳理】 考点一、两角和、差的正、余弦公式 要点诠释： 1．公式的适用条件(定义域) ：前两个公式,对任意实数α，β都成立，这表明该公式是R上的恒等式；公式③中 2．正向用公式,，能把和差角的弦函数表示成单角α，β的弦函数；反向用，能把右边结构复杂的展开式化简为和差角 的弦函数。公式正向用是用单角的正切值表示和差角的正切值化简。 考点二、二倍角公式 1. 在两角和的三角函数公式时，就可得到二倍角的三角函数公式： ； ； 。 要点诠释： 1．在公式中，角α没有限制，但公式中，只有当时才成立； 2. 余弦的二倍角公式有三种：＝＝；解题对应根据不同函数名的需要，函数不同的形式，公式的双向应用分别起缩角升幂和扩角降幂的作用。 3. 二倍角公式不仅限于2α和α的二倍的形式，其它如4α是2α的二倍，，的二倍等等，要熟悉这多种形式的两个角相对二倍关系，才能熟练地应用二倍角公式，这是灵活运用这些公式的关键。 考点三、二倍角公式的推论 降幂公式：； ； . 万能公式：； . 半角公式：； ； . 其中根号的符号由所在的象限决定. 要点诠释： (1)半角公式中正负号的选取由所在的象限确定； (2)半角都是相对于某个角来说的，如可以看作是3α的半角，2α可以看作是4α的半角等等。 (3)正切半角公式成立的条件是α≠2kπ+π(k∈Z) 正切还有另外两个半角公式：，这两个公式不用考虑正负号的选取问题，但是需要知道两个三角函数值。常常用于把正切化为正余弦的表达式。 考点四、三角形内角定理的变形 由，知可得出： ，. 而，有：，. 【典型例题】 类型一：正用公式 例1．（2016 全国新课标Ⅱ）若/，则/（ ） （A）/ （B）/ （C）/ （D）/ 【答案】D 【解析】因为，所以，即，即. 【点评】例1是对公式的正用． 举一反三： 【变式1】已知，，则 . 【答案】. 【变式2】已知，则 . 【答案】 【变式3】已知和是方程的两个根，求的值. 【答案】 【解析】由韦达定理，得， ， ∴ . 【高清课堂：三角恒等变换397881 例1】 【变式4】某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数. (1) (2) (3) (4) (5) Ⅰ 试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数 Ⅱ 根据(Ⅰ)的计算结果,将该同学的发现推广三角恒等式,并证明你的结论. 【解析】Ⅰ.选择(2)式计算如下 Ⅱ.证明: 例2(2015 源汇区校级一模)设，，且，，则 . 【思路点拨】注意到，将，看做一个整体运用公式. 【答案】 【解析】且， 且， 【点评】1、给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，例2中应用了的变换 ，体现了灵活解决问题的能力，应着重体会，常见的变换技巧还有，,,, 等. 2、已知某一个（或两个）角的三角函数值，求另一个相关角的三角函数值，基本的解题策略是从“角的关系式”入手切入或突破.角的关系主要有互余（或互补）关系，和差（为特殊角）关系，倍半关系等.对于比较复杂的问题，则需要两种关系的混合运用. 举一反三： 【变式1】已知，是第二象限角，且，求的值. 【答案】 【解析】由且是第二象限角，得， ∵， ∴. 【变式2】函数的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C； 【解析】∵， . 所以其最大值为2，故选C. 【变式3】(2015 河南模拟)若，则等于( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 故选A. 【变式4】已知， ... ...
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