平面向量的数量积及应用 【考纲要求】 1．理解平面向量数量积的含义及其物理意义，了解平面向量的数量积与向量投影的关系，掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算，能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系. 2．会用向量方法解决某些简单的平面几何问题，会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题. 【知识网络】 【考点梳理】 考点一、向量的数量积 1. 定义： 已知两个非零向量和，它们的夹角为(，我们把数量叫做和的数量积（或内积），记作，即. 规定：零向量与任一向量的数量积为0. 要点诠释： （1）两向量的数量积，其结果是个数量，而不是向量，它的值为两向量的模与余弦值决定 . （2）在运用数量积公式解题时，一定注意两向量夹角范围0(≤(≤180(.此外，由于向量具有方向性，一定要找准 (是哪个角. 2. 平面向量的数量积的几何意义 我们规定叫做向量在方向上的投影，当(为锐角时，为正值；当(为钝角时，为负值；当(=0(时，；当(=90(时，；当(=180(时，. 的几何意义：数量积等于的长度与 在方向上的投影的乘积. 要点诠释： 在方向上的投影是一个数量，它可正、可负，也可以等于0. 3. 性质： （1） (2) 当与同向时，；当与反向时，. 特别地 (3) (4) 4. 运算律 设已知向量、、和实数，则向量的数量积满足下列运算律： (1) (交换律) (2) (3) 要点诠释： ①当时，由不一定能推出，这是因为对任何一个与垂直的向量，都有；当时，也不一定能推出，因为由，得，即与垂直.也就是向量的数量积运算不满足消去律. ②对于实数，有，但对于向量来说，不一定相等，这是因为表示一个与共线的向量，而表示一个与共线的向量，而与不一定共线，所以与不一定相等. 5. 向量的数量积的坐标运算 ①已知两个非零向量，，那么； ②若，则； ③若，则，这就是平面内两点间的距离公式； ④若，则 6. 重要不等式 若，则 考点二、向量的应用 （1）向量在几何中的应用 ①证明线段平行，包括相似问题，常用向量平行（共线）的充要条件； （） ②证明垂直问题，常用垂直的充要条件； ③求夹角问题； 利用夹角公式：. 平面向量的夹角 ④求线段的长度，可以用向量的线性运算，向量的模 或. （2）向量在物理中的应用 ①向量的加法与减法在力的分解与合成中的应用； ②向量在速度的分解与合成中的应用. 【典型例题】 类型一、数量积的概念 例1．已知，，分别满足下列条件，求与. (1) ； (2)； (3)夹角为 【解析】 (1) 当时，分两种情况： ①若同向，则， ∴。 ②若反向，则， ∴。 (2)当时，， ∴。 (3)当的夹角为时， . 【总结升华】仍旧是一个向量，它们的模根据公式即为自身数量积的平方根. 数量积运算是沟通向量与数量的桥梁. 举一反三： 【变式1】已知向量与的夹角为，且，那么的值为 ． 【答案】0； 【解析】. 【变式2】已知向量与的夹角为120°，，则_____ 【答案】7 【解析】 , ∴. 【变式3】两个非零向量、互相垂直，给出下列各式：①；②；③；④；⑤. 其中正确的式子有（ ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【解析】①显然正确；由向量运算的三角形法则知与长度相等，但方向不同，所以②错误；③正确；由向量数量积的运算律可知④正确；只有在时，与才互相垂直，⑤错误，故①③④正确，故选B. 例2.（2016 北京高考）已知向量 ，则与夹角的大小为_____. 【答案】30° 【解析】（Ⅰ）， 所以，，， 根据数量积公式，得 故与夹角的大小为30°。 【总结升华】考查平面向量数量的角度问题，注意运用数量积的运算性质及夹角的范围，公式合理的选用有助于分析解决问题. 举一反三： 【变式1】若向量满足，与的夹角为，则（ ） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．2 【答案】B； 【解析】，，故。 【变式2】若 ... ...
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