等差数列 【考纲要求】 1．理解等差数列概念. 2．能在具体的问题情境中，识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题. 3．了解等差数列与一次函数的关系. 4．灵活应用等差数列的定义、公式和性质解决数列问题，认识和理解数列与其它数学知识之间的内在联系. 5．掌握常见的求等差数列通项的一般方法； 6．用数列知识解决带有实际意义的或生活、工作中遇到的数学问题 【知识网络】 【考点梳理】 【知识要点】 考点一、等差数列的定义 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差. 要点诠释： (1)｛｝为等差数列(n∈N※)－=d (n2, n∈N※)（ d为常数） (2)等差中项：若三个数a，x，b成等差，则x称为数a，b的等差中项。 任意实数a，b的等差中项存在且唯一，为 (3)证数列{}是等差数列的方法： ① (n≥2) （ d为常数）； ② 为和的等差中项。 考点二、通项公式 (归纳法和迭加法) 要点诠释： ①｛｝为等差数列为n的一次函数或为常数=kn+b (n) ②式中、、n、d只要有三个就可以利用方程(组)求出第四个。 ③公式特征：等差数列{}中=kn+b是关于n的一次函数(或常数函数)，一次项系数k为公差d。 ④几何意义：点(n，)共线；=kn+b中， 当k=d>0时，{}为递增数列； 当k=d<0时，{}为递减数列； 当k=d=0时，{}为常数列。 考点三、通项公式的性质： （1）等差中项：、、成等差数列，则； （2）通项公式的推广： （3）若，则； 特别，若，则 （4）等差数列中，若. 【典型例题】 类型一：等差数列的概念、公式、项的性质 例1. （1）－20是不是等差数列0，，－7，……的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由. （2）100是不是等差数列2，9，16，……的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由. 【思路点拨】题中要想判断一数是否为某一数列的其中一项，关键是要看是否存在一正整数值，使得等于这一数. 【解析】（1）由题意可知：,， ∴此数列的通项公式为：, 令,解得， 所以－20不是这个数列的项. （2）根据题意可得：,. ∴此数列通项公式为：（,）. 令,解得：, ∴100是这个数列的第15项. 【总结升华】1.根据所给数列的前2项求得首项和公差，写出通项公式. 2.要注意解题步骤的规范性与准确性. 举一反三： 【变式1】求等差数列8，5，2…的第21项 【解析】由，，∴. 【变式2】求集合的元素的个数，并求这些元素的和 【解析】∵， ∴， ∵，∴中有14个元素符合条件， 又∵满足条件的数7，14，21，…，98成等差数列， 即，，， ∴. 例2(2015 陕西高考)中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为 ． 【思路点拨】利用中位数性质建立关系式. 【答案】5 【解析】设该等差数列的首项为a， 由题意和等差数列的性质可得2015+a=1010×2 解得：a=5 【总结升华】在解决等差数列、等比数列的有关问题时，要熟悉其基本概念，基本公式及性质。 举一反三： 【变式】（2015 北京高考）设{an}是等差数列，下列结论中正确的是（ ） A．若a1+a2＞0，则a2+a3＞0 B．若a1+a3＜0，则a1+a2＜0 C．若0＜a1＜a2，则a2 D．若a1＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）＞0 【答案】C 【解析】若a1+a2＞0，则2a1+d＞0，a2+a3=2a1+3d＞2d，d＞0时，结论成立，即A不正确； 若a1+a3＜0，则a1+a2=2a1+2d＜0，a2+a3=2a1+3d＜2d，d＜0时，结论成立，即B不正确； {an}是等差数列，0＜a1＜a2，2a2=a1+a3＞2，∴a2＞，即C正确； 若a1＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）=﹣d2＜0，即D不正确．故选C 例3．（2016 西城区模拟）已知等差数列{an}的公差d＞0，a3=－3，a2a4=5，则an=_____。 【答案】2n-9 【解析】法一：令数列的首项为，公差为d，则 （d＞0）即 （d＞0） 解之有：， ∴. 法二： ... ...
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