数列求和与综合应用 【考纲要求】 1．熟练掌握等差数列和等比数列的求和公式； 2. 掌握数列的通项an与前n项和Sn之间的关系式 3．注意观察数列的特点和规律，在分析通项的基础上分解为基本数列求和或转化为基本数列求和，熟练掌握求数列的前项和的几种常用方法； 4.能解决简单的实际问题. 【知识网络】 【考点梳理】 纵观近几年的高考，在解答题中，有关数列的试题出现的频率较高，不仅可与函数、方程、不等式、复数相联系，而且还与三角、立体几何密切相关；数列作为特殊的函数，在实际问题中有着广泛的应用，如增长率、银行信贷、浓度匹配、养老保险、圆钢堆垒等问题.这就要求同学们除熟练运用有关概念式外，还要善于观察题设的特征，联想有关数学知识和方法，迅速确定解题的方向，以提高解数列题的速度. 与计算有关的问题主要有：求数列的某项，确定数列的通项公式，求有穷数列或无穷数列之和，计算数列的极限，将数列与方程，与不等式，与某些几何问题等联系起来，从而解决有关问题. 有关定性问题的论证问题主要有：考察或论证数列的单调性，将数列分类定性，考察数列的图像特征，考察数列的极限存在与否等等. 有关实际应用问题：某些与非零自然数有关的实际应用题，可用数列的各项与之对应，然后利用数列有关知识解答此类应用题.? 数列的函数属性：因数列是函数的特例，故解答有关问题时，常与函数知识联系起来考虑. 【典型例题】 类型一：数列与函数的综合应用 例1.对于数列，规定数列为数列的一阶差分数列，其中；一般地，规定为的k阶差分数列，其中且k∈N*，k≥2。 （1）已知数列的通项公式。试证明是等差数列； （2）若数列的首项a1=―13，且满足，求数列及的通项公式； （3）在（2）的条件下，判断是否存在最小值；若存在，求出其最小值，若不存在，说明理由。 解析：（1）依题意：， ∴ ∴， ∴数列是首项为1，公差为5的等差数列。 （2）， （3）令， 则当时，函数单调递减； 当时，函数单调递增； 又因， 而， 所以当n=2时，数列an存在最小值，其最小值为－18。 举一反三： 【变式1】已知数列的首项，，． （Ⅰ）求的通项公式； （Ⅱ）证明：对任意的，，； （Ⅲ）证明：． 解析：（Ⅰ），，， 又，是以为首项，为公比的等比数列． ，． （Ⅱ）设， 则 ，当时，；当时，， 当时，取得最大值． 原不等式成立． （Ⅲ）由（Ⅱ）知，对任意的，有 ． 令，则， ． 原不等式成立． 【函数的极值和最值典型例题三】 【变式2】已知数列和满足：，，其中为实数，n为正整数. （Ⅰ）对任意实数，证明数列不是等比数列； （Ⅱ）试判断数列是否为等比数列，并证明你的结论； 解析：（Ⅰ）假设存在实数，使得数列是等比数列，则，，必然满足 由得，显然矛盾， 即不存在实数使得数列是等比数列。 （Ⅱ）根据等比数列的定义： 即 又 所以当时，数列不是等比数列；当时，数列是等比数列. 类型二：数列与不等式 例2. (2016 江苏高考)记U={1,2,…，100}.对数列{an}（n∈N*）和U的子集T，若,定义ST=0;若T={t1，t2，…，tk}，定义.例如：T={1,3,66}时，.现设{an}（n∈N*）是公比为3的等比数列，且当T={2,4}时，. 求数列的通项公式； 对任意正整数，若，求证：； 设,求证：. 【解析】（1）由已知得. 于是当T={2,4}时，. 又，故，即. 所以数列的通项公式为. （2）因为，， 所以. 因此，. （3）下面分三种情况证明. ①若是的子集，则. ②若是的子集，则. ③若不是的子集，且不是的子集. 令，则，，. 于是，，进而由，得. 设是中的最大数，为中的最大数，则. 由（2）知，，于是，所以，即. 又，故， 从而， 故，所以， 即. 综合①②③得，. 举一反三： 【变式1】（2015重庆高考）在数列{an}中，a1=3，an+1an+λan+1+μan2=0（n∈N+） （Ⅰ） ... ...
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