基本不等式 【考纲要求】 1.了解基本不等式的证明过程，理解基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等； 2.会用基本不等式解决最大（小）值问题. 3.会应用基本不等式求某些函数的最值；能够解决一些简单的实际问题 【知识网络】 【考点梳理】 考点一：两个重要不等式及几何意义 1．重要不等式： 如果，那么（当且仅当时取等号“=”）. 2．基本不等式： 如果是正数，那么（当且仅当时取等号“=”）. 要点诠释：和两者的异同： （1）成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数； （2）取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当时取等号”。 （3）可以变形为：，可以变形为：. 3.如图，是圆的直径，点是上的一点，,，过点作交圆于点D，连接、. 易证，那么，即. 这个圆的半径为，它大于或等于，即，其中当且仅当点与圆心重合，即时，等号成立. 要点诠释：1.在数学中，我们称为的算术平均数，称为的几何平均数. 因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 2.如果把看作是正数的等差中项，看作是正数的等比中项，那么基本不等式可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项. 要点二、用基本不等式求最大（小）值 在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等。 ① 一正：函数的解析式中，各项均为正数； ② 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③ 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值。 要点三、几个常见的不等式 1），当且仅当a=b时取“=”号。 2），当且仅当a=b 时取“=”号。 3）；特别地：； 4） 5）； 6）； 7） 要点四、绝对值不等式的性质 1.； 2.； 要点五、柯西不等式 1. 二维形式的柯西不等式： （1）向量形式： 设是两个向量，则，当且仅当是零向量或存在实数k，使时，等号成立。 （2）代数形式： ①若a、b、c、d都是实数，则，当且仅当ac=bd时，等号成立； ②若a、b、c、d都是正实数，则，当且仅当ac=bd时，等号成立； ③若a、b、c、d都是实数，则，当且仅当ac=bd时，等号成立； 要点诠释：柯西不等式的代数形式可以看作是向量形式的坐标化表示； （3）三角形式： 设，则。 2. 三维形式的柯西不等式（代数形式）： 若都是实数，则，当且仅当或存在实数k，使得时，等号成立。 3. 一般形式的柯西不等式（代数形式）： 若都是实数，则 ， 当且仅当或存在实数k，使得时，等号成立。 【典型例题】 类型一：基本不等式求最值问题 【基本不等式基础练习二】 例1．设，则的最小值是 A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】 当且仅当即时取等号. 【答案】D 举一反三： 【变式1】已知, 且，求的最小值及相应的值. 【解析】∵, ∴, 又, ∴ 当且仅当即时取等号 ∴ 当时，取最小值. 【变式2】求下列函数的最大（或最小）值. （1）； (2)， ； (3) ， (4) ， ； (5)， 【解析】（1）∵ ，∴，∴ 当且仅当，即时取等号 ∴时， (2) ∵，∴ 当且仅当即时，. (3) ∵，∴ ∴ 当且仅当即时，. (4) ∵，∴ ∴ 当且仅当 即时，. (5) ∵，∴ ∴ 当且仅当即时， 【变式3】已知且，求的最小值. 【解析】方法一：且 ∴ （当且仅当即时等号成立）. ∴的最小值是16. 方法二：由，得， ∵，∴ ∴ 当且仅当即时取等号，此时 ∴的最小值是16. 方法三：由得，∴ ∴ 当且仅当时取等号， ∴的最小值是16. 类型二：利用基本不等式证明不等式 例2.已知，，，求证：，，中至少有一个小于等于. 证明：假设 则有 〔＊〕 又∵ 与〔＊〕矛盾 举一反三： 【变式1】已知、、都是正数，求证： 【解析】∵、、都是正数 ∴ （当且仅当时，取等号） （当且仅当时，取等号） （当且仅当时，取 ... ...
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