空间点线面的位置关系 【考纲要求】 （1）理解空间直线、平面位置关系的定义； （2）了解可以作为推理依据的公理和定理； （3）能运用公理、定理和已经获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题。 【知识网络】 【考点梳理】 考点一、平面的基本性质 1、平面的基本性质的应用 （1）公理1：可用来证明点在平面内或直线在平面内； （2）公理2：可用来确定一个平面，为平面化作准备或用来证明点线共面； （3）公理3：可用来确定两个平面的交线，或证明三点共线，三线共点。 2、平行公理主要用来证明空间中线线平行。 3、公理2的推论： （1）经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面； （2）经过两条相交直线，有且只有一个平面； （3）经过两条平行直线，有且只有一个平面。 4、点共线、线共点、点线共面 （1）点共线问题 证明空间点共线问题，一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点，再根据公理3证明这些点都在这两个平面的交线上。 （2）线共点问题 证明空间三线共点问题，先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这点，把问题转化为证明点在直线上。 要点诠释：证明点线共面的常用方法 ①纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内； ②辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α、β重合。 考点二、直线与直线的位置关系 （1）位置关系的分类 （2）异面直线所成的角 ①定义：设a,b是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线a’∥a,b’∥b,把a’与b’所成的锐角（或直角）叫做异面直线a与b所成的角（或夹角） ②范围： 要点诠释：证明两直线为异面直线的方法： 1、定义法（不易操作） 2、反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两直线平行或相交，由假设的条件出发，经过严密的推理，导出矛盾，从而否定假设肯定两条直线异面。此法在异面直线的判定中经常用到。 3、客观题中，也可用下述结论： 过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线，如图： 考点三、直线和平面、两个平面的位置关系 1、直线和平面的位置关系 位置关系 直线a 在平面α内 直线a与平面α相交 直线a与平面α平行 公共点 有无数个公共点 有且只有一个公共点 没有公共点 符号表示 图形表示 2、两个平面的位置关系 位置关系 图示 表示法 公共点个数 两平面平行 0 两平面相交 斜交 有无数个公共点在一条直线上 垂直 有无数个公共点在一条直线上 考点四、平行公理、等角定理 平行于同一条直线的两条直线互相平行。（但垂直于同一条直线的两直线的位置关系可能平行，可能相交，也可能异面） 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。 要点诠释： （1）以空间几何体为载体，考查逻辑推理能力； （2）通过判断位置关系，考查空间想象能力； （3）应用公理、定理证明点共线、线共面等问题； （4）多以选择、填空的形式考查，有时也出现在解答题中。 【典型例题】 类型一、异面直线的判定 例1已知空间四边形ABCD. (1)求证：对角线AC与BD是异面直线; (2)若AC⊥BD,E,F,G,H分别这四条边AB,BC,CD,DA的中点,试判断四边形EFGH的形状; (3)若AB＝BC＝CD＝DA,作出异面直线AC与BD的公垂线段. 【证明】(1)（反证法）假设AC与BD不是异面直线，则AC与BD共面， 所以A、B、C、D四点共面 这与空间四边形ABCD的定义矛盾 所以对角线AC与BD是异面直线 (2)解：∵E,F分别为AB,BC的中点,∴EF//AC,且EF=AC. 同理HG//AC,且HG=AC.∴EF平行且相等HG,∴EFGH是平行四边形. 又∵F,G分别为BC,CD的中点,∴FG//BD,∴∠EFG是异面直线AC与BD所成的角. ∵AC⊥BD,∴∠EFG=90o.∴EFGH是矩形. (3)作法取BD中点E,AC中点F,连EF,则EF即为所求. 【点评】在空间四边形中我们通常会遇到 ... ...
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