曲线与方程 【考纲要求】 1.了解轨迹的背景、含义和概念 2. 能根据所给的条件，选择恰当的直角坐标系求出曲线的轨迹方程，画出某些简单方程所表示的曲线； 3.在形成概念的过程中，培养分析、抽象和概括等思维能力， 4.掌握形数结合、函数与方程、化归与转化等数学思想，以及坐标法、待定系数法等常用的数学方法；渗透数形结合思想。 【知识网络】 【考点梳理】 【曲线与方程知识要点】 考点一：曲线与方程的定义 1.“曲线的方程”、“方程的曲线”的定义： 在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程的实数解建立了如下关系： (1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解（轨迹的纯粹性）； (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点（轨迹的完备性）； 那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线。 2. 定义的理解： 设P={具有某种性质(或适合某种条件)的点}，，若设点，用集合的观点，上述定义中的两条可以表述为： （1），即； （2），即。 以上两条还可以转化为它们的等价命题(逆否命题)： （1）；（2）。 显然，当且仅当且，即时，才能称方程为曲线C的方程；曲线C为方程的曲线(图形)． 要点诠释： 在领会定义时，要牢记关系(1)、(2)两者缺一不可，它们都是“曲线的方程”和“方程的曲线”的必要条件．两者满足了，“曲线的方程”和“方程的曲线”才具备充分性．只有符合关系(1)、(2)，才能将曲线的研究转化为方程来研究，即几何问题的研究转化为代数问题．这种“以数论形”的思想是解析几何的基本思想和基本方法 考点二：求曲线方程的一般步骤 求简单的曲线方程的一般步骤： （1）建立适当的坐标系，用有序实数对表示曲线上任意一点M的坐标； （2）写出适合条件P的点M的集合； （3）用坐标表示条件，列出方程; （4）化方程为最简形式； （5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点/ 上述方法简称“五步法”，在步骤④中若化简过程是同解变形过程；或最简方程的解集与原始方程的解集相同，则步骤⑤可省略不写，因为此时所求得的最简方程就是所求曲线的方程。 要点诠释： 1. 一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤： 定形———指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置； 定式———根据“形”设方程的形式，但当椭圆（或双曲线）的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为； 定量———由题设中的条件找到“式”中特定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小。 2. 求曲线的轨迹方程常采用的方法有：直接法、定义法（待定系数法）、相关点法（转移）、参数法。 (1)直接法：直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程。 (2)定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如椭圆、双曲线、抛物线、圆等)，可用定义（待定系数法）直接探求。 (3)相关点法：根据相关点所满足的方程，通过转换而求动点的轨迹方程。 (4)参数法：若动点的坐标中的分别随另一变量的变化而变化，我们可以以这个变量为参数，建立轨迹的参数方程，然后消去参数，就得到轨迹的普通方程。 3. 求轨迹方程，一定要注意轨迹的纯粹性和完备性，要注意区别“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念。 【典型例题】 类型一：曲线和方程的关系 例1. 下列命题中，真命题的个数是（ ） ①若曲线C上的点的坐标都是方程的解，则C的方程是 ②若以方程的解为坐标的点都是曲线C上的点，则方程的曲线是C ③若以方程的解为坐标的点都是曲线C上的点，则曲线C的方程是 A．0 B．1 C．2 D．3 【思路点拨】对“曲线的方程”、“方程的曲线”的正确理解是解题的关键。 【答案】A 举一反三： 【变式1】如果命题“坐标满足方程F(x, y)=0的点都在曲线C上”不正确，那 ... ...
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