高考冲刺：直线与圆锥曲线的位置关系 【高考展望】 1.直线和圆锥曲线的位置关系判定是基础内容，是高考必考内容； 2.直线与圆锥曲线相交有两个交点时的弦长公式是考试的重点内容； 3.掌握圆锥曲线有关中点弦问题的求解方法； 4.关于直线与圆锥曲线的综合问题历来是考试的重点和难点，需要强化练习，形成必要的技巧和技能。 【知识升华】 知识点一：直线与圆锥曲线的位置关系： 直线与圆锥曲线的位置关系有相交、相切、相离三种位置关系。 1．直线Ax+By+C＝0和椭圆的位置关系： 将直线的方程与椭圆的方程联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为Δ. ①Δ＞0直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）； ②Δ＝0直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)； ③Δ＜0直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点． 2．直线Ax+By+C＝0和双曲线的位置关系： 将直线的方程与双曲线的方程联立成方程组，消元转化为关于x或y的方程。 （1）若方程为一元一次方程，则直线和双曲线的的渐近线平行，直线和双曲线有一个交点，但不相切不是切点； （2）若为一元二次方程，则 ①若Δ＞0，则直线和双曲线相交，有两个交点(或两个公共点)； ②若Δ＝0，则直线和双曲线相切，有一个切点； ③若Δ＜0，则直线和双曲线相离，无公共点. 3．直线Ax+By+C＝0和抛物线y2＝2px(p＞0)的位置关系： 将直线的方程与抛物线的方程联立成方程组，消元转化为关于x或y方程。 （1）若方程为一元一次方程，则直线和抛物线的对称轴平行，直线和抛物线有一个交点，但不相切不是切点； （2）若为一元二次方程，则 ①若Δ＞0，则直线和抛物线相交，有两个交点(或两个公共点)； ②若Δ＝0，则直线和抛物线相切，有一个切点； ③若Δ＜0，则直线和抛物线相离，无公共点. 知识点二：圆锥曲线的弦长 1.直线被圆锥曲线截得的线段称为圆锥曲线的弦。 设直线与圆锥曲线相交于，两点，直线的斜率存在且为k，则 弦长公式： 当k存在且不为零时, 弦长公式还可以写成： 2. 焦点弦：若弦过圆锥曲线的焦点叫焦点弦； 抛物线的焦点弦公式，其中为过焦点的直线的倾斜角. 3. 通径：若焦点弦垂直于焦点所在的圆锥曲线的对称轴，此时焦点弦也叫通径. 抛物线的通径 知识点三：圆锥曲线的中点弦问题： 遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解. ①在椭圆中，以为中点的弦所在直线的斜率； ②在双曲线中，以为中点的弦所在直线的斜率； ③在抛物线中，以为中点的弦所在直线的斜率。 【典型例题】 类型一：直线与圆锥曲线位置关系的判定与应用 【高清课堂：直线与圆锥曲线 369155 例4】 例1、直线y=x+3与曲线的公共点个数是( ) (A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)3个 【解析】分和分别画出曲线， 容易看出，答案选D 举一反三： 【变式1】求以椭圆的焦点为焦点，经过直线x-y+9=0上一点，且离心率最大的椭圆方程. 【解析一】由已知可设所求椭圆方程为， 又∵，c=3, ∴e最大即a最小. 把y=x+9代入所求方程中有(2a2-9)x2+18a2x+90a2-a4=0， 由已知Δ≥0， 即(18a2)2-4(2a2-9)(90a2-a4)≥0，解之有a2≥45， ∴ a2=45时，e最大，此时所求椭圆方程为. 【解析二】由已知，c=3, ∴e最大即a最小. 令P为x-y+9=0与所求椭圆公共点，而此椭圆焦点F1(-3,0),F2(3,0)， 由已知|PF1|+|PF2|=2a， 所以即求x-y+9=0上一点P，使|PF1|+|PF2|最小， ∵ F1、F2在x-y+9=0同侧，所以作F1关于x-y+9=0的对称点Q(-9,6), 而|PF1|+|PF2|的最小值即|F2Q|， ∵F2(3,0), Q(-9,6), ∴, ∴, ∴e最大时，， ∴a2=45, ∴ b2=a2-c2=45-9=36, ∴所求方程为. 例2. 求以椭圆的焦点为焦点，与直线y=x+8有公共点，且离心率最大的椭圆方程. 【解析一】已知椭圆焦点F1(-4,0)，F2(4,0) ∴所求椭圆焦点F1(-4,0)，F2(4，0 ... ...
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