直线与圆的位置关系 【学习目标】 1. 会证明和应用圆周角定理、圆的切线的判定定理及性质定理。 2．会证明和应用相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理。 【要点梳理】 要点一、圆的有关预备知识 1. 圆的切线判定定理： 经过圆的半径的外端且垂直于这条半径的直线，是圆的切线 2. 圆的切线的性质定理： 圆的切线垂直过切点的半径（反证法） 推论1： 从圆外的一个已知点所引的两条切线长相等 推论2： 经过圆外的一个已知点和圆心的直线，平分从这点向圆所作的两条切线 的夹角 3. 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 推论： 1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； 2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； 3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦并且平分弦所对的另一条弧 4.有关弧、弦、圆心角关系的定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 5.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 （2R在同一个三角形中是恒量，是外接圆的半径的两倍） 6.余弦定理：, , 要点二、圆周角定理 1．圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 推论1 ：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。 推论2 ：半圆（或直径）所对的圆周角是90°；90°的圆周角所对的弦是直径。 推论3 ：如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 2. 圆心角定理：圆心角的度数和它所对的弧的度数相等。 要点注释：涉及圆周角的题目，经常利用圆周角与它所对的弧相互转化，即圆周角的度数可以转化成它所对弧的度数，而弧的度数又可以转化为圆周角的度数. 要点三、圆内接四边形的性质与判定定理 性质定理1：圆内接四边形的对角互补。 性质定理2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角。 判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆。 推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆。 要点四、圆的切线的性质及判定定理 1.圆的切线的性质定理： 圆的切线垂直于经过切点半径 推论1 经过圆心且垂直于切线的直径必经过切点 推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 2.圆的切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 要点注释：利用圆的切线的性质来证明或进行有关的计算,有时需添加辅助线，其中连接圆心和切点的半径是常用辅助线，从而可以构造直角三角形，利用直角三角形边角关系求解，或利用勾股定理求解，或利用三角形相似求解等. 要点五、弦切角定理 弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。 （它是圆中证明角相等的重要定理之一） 推论： 如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等 若TC为圆O切线，∠BTC=∠BAT 注：弦切角概念：顶点在圆上，一边和圆相交、另一边和圆相切的角 叫做弦切角．它是继圆心角、圆周角之后第三种与圆有关的角．这种 角必须满足三个条件： 1）顶点在圆上，即角的顶点是圆的一条切线的切点； 2）角的一边和圆相交，即角的一边是过切点的一条弦所在的射线； 3）角的另一边和圆相切，即角的另一边是切线上以切点为端点的一条射线． 它们是判断一个角是否为弦切角的标准，三者缺一不可。 要点注释：对于和弦切角有关的问题，首先观察分析图形的特点，认准图形中圆的切线所形成的弦切角，再利用弦切角定理，寻找相等的角，往往与相似三角形的相关知识联系在一起得到最 ... ...
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