人教版高中数学选修4-5同步练习题、期中、期末复习资料、补习资料：10几个重要不等式--选修4-5

几个重要不等式 【学习目标】 1.认识柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义，学会柯西不等式的简单应用. 2.用向量递推的方法讨论排序不等式，学会排序不等式的简单应用. 3.了解数学归纳法的原理、使用范围和基本步骤，会用数学归纳法证明一些简单问题. 4.会用数学归纳法证明贝努利不等式. 5.通过对上述重要不等式的分析、证明和简单应用，提高学生分析问题的能力、推理论证的能力和运用已知数学结论解决问题的能力. 【要点梳理】 要点一：柯西不等式 1．二维形式的柯西不等式 代数形式（定理1） 对任意实数，则. （当且仅当向量与向量共线，即时，等号成立）. 向量形式： 设是平面上任意两个向量，则. （当且仅当向量与向量共线时，等号成立）。 三角形式: 对任意实数，则 （当且仅当时，等号成立.） 证明： 几何背景： 如图，在三角形中， ， 则 将以上三式代入余弦定理，并化简，可得 或 因为，所以，， 于是 要点诠释： （1）柯西不等式的代数形式可以看作是向量形式的坐标化表示； （2）定理1的变形： 若a、b、c、d都是正实数，则，（当且仅当向量与向量共线，即时，，等号成立） 2. 一般形式的柯西不等式 定理2 设与是两组实数，则 ， 当且仅当向量与向量共线时，等号成立。 要点诠释： （1）使用柯西不等式的方便之处在于，对任意的两组实数都成立，这个不等式告诉我们，任意两组数： ，，…， ， ，，…， ， 其对应项“相乘”之后、“求和”、再“平方”这三种运算不满足交换律，先各自平方，然后求和，最后相乘，运算的结果不会变小。 （2）柯西不等式是一个非常重要的不等式，其结构和谐，应用灵活广泛，灵活巧妙的运用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解，并且柯西不等式本身的证明方法也值得在不等式证明中借鉴。（3）使用一些方法构造符合柯西不等式的形式及条件，继而达到使用柯西不等式解决有关的问题。（4）利用柯西不等式求最值的关键在于将式子进行恰当的“凑”变形。 要点二：排序不等式 定理1 设a，b和c，d都是实数，如果，那么 当且仅当a=b（或c=d）时取“=”号. 定理2（排序不等式） 设有两个有序实数组： 及 则 （顺序和） ≥ （乱序和） ≥ （逆序和） . 　　 其中，是1，2，…，的任一排列形式，上式当且仅当（或）时，取“=”号。要点诠释： 学习排序不等式要抓住它的本质含义：两实数序列同方向单调(同时增或同时减)时所得两两乘积之和最大．反之，反方向单调(一增一减)时所得两两乘积之和最小，注意等号成立条件是其中一个序列为常数序列． 要点三：贝努利不等式 定理（贝努利不等式） 对任意实数和任何正整数n；有 . 推广 （1），且 （2），有； ，有 （3）；则有 （4）设，则当且仅当时取到“=” 贝努利不等式的证明： 证法1：（数学归纳法） （1）当时，等式显然成立. （2）假设时，等式成立，即 当n=k+1时， 综上可知，不等式成立 证法2：联想到 当时， 当 证法3：当， 当，则 证法4： 证法5：只证； 设 ，故. 要点四：数学归纳法 对于某些与自然数n有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性： 先证明当n取第一个值n0时命题成立； 然后假设当n=k(k(N*，k≥n0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立/ 这种证明方法就叫做数学归纳法/ 要点诠释： （1）数学归纳法是专门证明与正整数集有关的命题的一种方法，它是一种完全归纳法。 （2）证明了第一步，就获得了递推的基础；证明了第二步，就获得了递推的依据。 【典型例题】 类型一：柯西不等式的简单应用 例1. 已知实数满足， ，试求的最值。 【思路点拨】构造关于变量的柯西不等式，再利用已知条件，转化为关于的式子，解不等式即可. 【解析】由柯西不等式得 ， 即 ， 由条件可得， ， 解得 . 当且仅当向量与向量共线，即 时等 ... ...