2.2.2 双曲线的简单几何性质 课时目标 1.掌握双曲线的简单几何性质.2.了解双曲线的渐近性及渐近线的概念.3.掌握直线与双曲线的位置关系． 1．双曲线的几何性质 标准方程 －＝1 (a>0，b>0) －＝1 (a>0，b>0) 图形 性 质 焦点 焦距 范围 对称性 顶点 轴长 实轴长＝_____，虚轴长＝_____ 离心率 渐近线 2.直线与双曲线 一般地，设直线l：y＝kx＋m (m≠0) ① 双曲线C：－＝1 (a>0，b>0) ② 把①代入②得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0. (1)当b2－a2k2＝0，即k＝±时，直线l与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线C相交于_____． (2)当b2－a2k2≠0，即k≠±时， Δ＝(－2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2)． Δ>0?直线与双曲线有_____公共点，此时称直线与双曲线相交； Δ＝0?直线与双曲线有_____公共点，此时称直线与双曲线相切； Δ<0?直线与双曲线_____公共点，此时称直线与双曲线相离． 一、选择题 1．下列曲线中离心率为的是( ) A．－＝1 B．－＝1 C．－＝1 D．－＝1 2．双曲线－＝1的渐近线方程是( ) A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x 3．双曲线与椭圆4x2＋y2＝1有相同的焦点，它的一条渐近线方程为y＝x，则双曲线的方程为( ) A．2x2－4y2＝1 B．2x2－4y2＝2 C．2y2－4x2＝1 D．2y2－4x2＝3 4．设双曲线－＝1(a>0，b>0)的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为( ) A．y＝±x B．y＝±2x C．y＝±x D．y＝±x 5．直线l过点(，0)且与双曲线x2－y2＝2仅有一个公共点，则这样的直线有( ) A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 6．已知双曲线－＝1 (a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，则此双曲线的离心率e的最大值为( ) A. B. C．2 D. 题 号 1 2 3 4 5 6 答 案 二、填空题 7．两个正数a、b的等差中项是，一个等比中项是，且a>b，则双曲线－＝1的离心率e＝_____. 8．在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，且a＝10，c－b＝6，则顶点A运动的轨迹方程是_____． 9．与双曲线－＝1有共同的渐近线，并且经过点(－3，2)的双曲线方程为_____． 三、解答题 10．根据下列条件，求双曲线的标准方程． (1)经过点，且一条渐近线为4x＋3y＝0； (2)P(0,6)与两个焦点连线互相垂直，与两个顶点连线的夹角为. 11．设双曲线x2－＝1上两点A、B，AB中点M(1，2)，求直线AB的方程． 能力提升 12．设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( ) A． B． C． D． 13．设双曲线C：－y2＝1 (a>0)与直线l：x＋y＝1相交于两个不同的点A、B. (1)求双曲线C的离心率e的取值范围； （2）若设直线l与y轴的交点为P，且＝，求a的值． 1．双曲线－＝1 (a>0，b>0)既关于坐标轴对称，又关于坐标原点对称；其顶点为(±a，0)，实轴长为2a，虚轴长为2b；其上任一点P(x，y)的横坐标均满足|x|≥a. 2．双曲线的离心率e＝的取值范围是(1，＋∞)，其中c2＝a2＋b2，且＝，离心率e越大，双曲线的开口越大．可以通过a、b、c的关系，列方程或不等式求离心率的值或范围． 3．双曲线－＝1 (a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，也可记为－＝0；与双曲线－＝1具有相同渐近线的双曲线的方程可表示为－＝λ (λ≠0)． 2．2.2 双曲线的简单几何性质 答案 知识梳理 1. 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 图形 性 质 焦点 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距 |F1F2|＝2c 范围 x≥a或x≤－a，y∈R y≥a或y≤－a，x∈R 对称性 关于x轴、y轴和原点对称 顶点 (－a,0)，(a,0) (0，－a)，(0，a) 轴长 实轴长＝2a，虚轴长＝2b 离心率 e＝(e>1) 渐近线 y＝±x y＝±x 2.(1)一点 (2)两个 一个 没有 作业设计 1．B [∵e＝，∴e2 ... ...
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