梅州市高中期末考试试卷（2019.7） 高一数学 参考答案与评分意见 一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 选项 C C D D A A B D D D A A 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13． 14．5 15． 16． 三、解答题（本题共6小题，共70分） 17．(本小题满分10分) 解：（1）设的公差为，可得， ……2分 故, ……3分 解得或（舍去） ……5分 ……6分 （2）依题意得 ……8分 则． ……10分 18．（本小题满分12分） 解：（1）由频率分布直方图可得 第三组和第五组的频率之和为 ……1分 第三组的频率为 ……3分 该样本数据的平均数 所以可估计该校学生一周课外阅读时间的平均值为小时. ……6分 （2）易得从第3、4、5组抽取的人数分别为3、2、1，设为， 则从该6人中选拔2人的基本事件有： 共15种， ……8分 其中来自不同的组别的基本事件有： ， 共11种， ……10分 ∴这2人来自不同组别的概率为． ……12分 （本小题满分12分） 解:（1） 由正弦定理，得， ……2分 ∵， ∴. 即， ……4分 而, ∴， 则 . ……6分 （2）由，得， ……8分 由及余弦定理得 ， 可得， ……10分 所以． ……12分 20．（本小题满分12分） 解:（1）由表中数据和参考公式得： ……1分 ……3分 ……4分 ……5分 ……6分 由题意，可知总收入的预报值与之间的关系为： ……7分 设该区每个分店的平均利润为，则 故的预报值与之间的关系为 ……9分 当且仅当即时等号成立, 则当时，取到最大值. ……11分 故该公司应开设4个分店时，在该区的每个分店的平均利润最大． ……12分 21．（本小题满分12分） (1)证明：取的中点，连接 因为是菱形的对角线的交点， 所以且 ……1分 又因为且所以且 从而为平行四边形， ……2分 所以 又平面，平面， ∴平面． ……3分 （2）因为四边形为菱形，所以 ……4分 因为是的中点，所以 ……5分 又所以平面 ……6分 又平面，所以平面平面． ……7分 (3)作于，因为平面平面， 所以平面, ……8分 则为与平面所成角． ……9分 由及四边形为菱形，得为正三角形， 则 所以为正三角形，从而 ……10分 在中，由余弦定理， 得 .....................11分 所以与平面所成角的余弦值为 ……12分 22．（本小题满分12分） 解:（1） , …………………………1分 当 , 时满足上式，故 …………………3分 ∵=1,∴, …………………………4分 ∵ , ① ∴ , ② ∴①+②，得. …………………………… 6分 （2）∵，∴ ∴ ① ， ② ① －②得 即. …………………………8分 要使得不等式恒成立， 恒成立, …………………………9分 对于一切的恒成立， 即. ……………………………10分 令，则 , 当且仅当时等号成立，故, 所以为所求. …………12分 ... ...
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