2.3 数学归纳法（通用） 课件（49张PPT）

课件49张PPT。数学归纳法一、概念1、归纳法： 对于某类事物，由它的一些特殊事例或其全部可能情况， 归纳出一般结论的推理方法，叫归纳法。?用不完全归纳法得出的结论不一定正确，如费马猜想。 ?用完全归纳法得出的结论可靠，可不便操作。提出问题：如何找到一个科学有效的方法证明结论的 正确性呢？如何保证骨牌一一倒下？需要几个步骤才能到？（1）处理第一个问题；（相当于推倒第一块骨牌） （2）验证前一问题与后一问题有递推关系； （相当于前牌推倒后牌）多米诺骨牌课件演示 数学归纳法的定义设{pn}是一个与自然数相关的命题集合，如果（1）证明起始命题p1(或p0)成立； （2）在假设pk成立的前提下，推出pk+1也成立，那么可以断定。{pn}对一切正整数（或自然数）成立，这种方法叫做数学归纳法。 已知数列{an}中，a1=1,an+1=an/(an+1),用数学归纳法证明： 对所有的 正整数n,有an=1/na1=1成立假设ak=1/k成立,若证出 ak+1=1/(k+1)成立命题an=1/n成立命题成立类比 数学归纳法 证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤： 1．(归纳奠基)证明当n取 时命题成立；2．(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当 时命题也成立． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所 有正整数n都成立．第一个值n0(n0∈N*)n＝k＋1答案： B 解析 :∵n为偶数故假设n＝k成立后，再证n＝k＋2时等式成立．答案： D2．用数学归纳法证明“1＋2＋22＋…＋2n＋2＝2n＋3－ 1”，在验证n＝1时，左边计算所得的式子为 (　　) A．1 B．1＋2 C．1＋2＋22 D．1＋2＋22＋23解析：由n＝1时，左＝1＋2＋22＋23.答案： D答案：2k答案： 3解析：第一步检验的第一个值n0应为3. 数学归纳法的应用 (1)数学归纳法是一种只适用于与正整数有关的命题的证 明方法，它们的表述严格而且规范，两个步骤缺一不可．第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，第二步中，归纳假设起着“已知条件”的作用，在n＝k＋1时一定要运用它，否则就不是数学归纳法．第二步的关键是“一凑假设，二凑结论”． (2)在用数学归纳法证明问题的过程中，要注意从k到k＋1 时命题中的项与项数的变化，防止对项数估算错误．[例1]　求证：(n＋1)(n＋2)·…·(n＋n)＝2n·1·3·5·…·(2n－1)(n∈N*)．[自主解答]　当n＝1时，等式左边＝2，右边＝2，故等式成立；假设当n＝k时等式成立， 即(k＋1)(k＋2)·…·(k＋k)＝2k·1·3·5·…·(2k－1)， 那么当n＝k＋1时， 左边＝(k＋1＋1)(k＋1＋2)·…·(k＋1＋k＋1) ＝(k＋2)(k＋3)·…·(k＋k)(2k＋1)(2k＋2) ＝2k·1·3·5·…·(2k－1)(2k＋1)·2＝2k＋1·1·3·5·…·(2k－1)(2k＋1)，这就是说当n＝k＋1时等式也成立． 综上可知原等式对于任意正整数n都成立．[巧练模拟]———(课堂突破保分题，分分必保！)[冲关锦囊] 用数学归纳法证明恒等式应注意 (1)明确初始值n0的取值并验证n＝n0时等式成立． (2)由n＝k证明n＝k＋1时，弄清左边增加的项，且明确变 形目标． (3)掌握恒等变形常用的方法：①因式分解；②添拆项； ③配方法.若x1，x2，…，xn为正数，则(1－x1)·(1－x2)·…·(1－xn)>1－(x1＋x2＋…＋xn)(n≥2，n∈N)．(*) ①当n＝2时，∵x1>0，x2>0，∴(1－x1)(1－x2)＝1－(x1＋x2)＋x1x2>1－(x1＋x2)． ②假设当n＝k(k≥2)时，不等式成立，即若x1，x2，…，xk为正数， 则(1－x1)(1－x2)…(1－xk)>1－(x1＋x2＋…＋xk)，[冲关锦囊] 1．用数学归纳法证明与正整数n有关的不等式，一般有 三种具体形式：一是直接给出不等式，按要求进行证明；二是比较两个式子的大小，先利用n的几个特殊值猜想大小再给出证明；三是已知不等式成立，寻求变量的取值范围． 2．在证明由n＝k到n＝k＋1成立时，一定要用归纳假设 n＝k时得到的中间过渡式 ... ...