A级 基础巩固 一、选择题 1．(2019·全国卷Ⅰ)关于函数f(x)＝sin|x|＋|sin x|有下述四个结论：( ) ①f(x)是偶函数 ②f(x)在区间单调递增 ③f(x)在[－π，π]有4个零点 ④f(x)的最大值为2 其中所有正确结论的编号是( ) A．①②④ B．②④ C．①④ D．①③ 答案：C 2．下列函数中既是偶函数又在(0，＋∞)上是增函数的是( ) A．y＝x3 B．y＝|x|＋1 C．y＝－x2＋1 D．y＝2x＋1 解析：四个选项中的函数的定义域都是R.对于选项A，y＝x3是奇函数；对于选项B，y＝|x|＋1是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数；对于选项C，y＝－x2＋1是偶函数，但是它在(0，＋∞)上是减函数；对于选项D，y＝2x＋1是非奇非偶函数． 答案：B 3．已知y＝f(x)，x∈(－a，a)，F(x)＝f(x)＋f(－x)，则F(x)是( ) A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数 解析：F(－x)＝f(－x)＋f(x)＝F(x)．又因为x∈(－a，a)关于原点对称，所以F(x)是偶函数． 答案：B 4．设函数f(x)＝且f(x)为偶函数，则g(－2)＝( ) A．6 B．－6 C．2 D．－2 解析：因为f(x)为偶函数，所以f(－2)＝g(－2)＝f(2)＝22＋2＝6. 答案：A 5．已知f(x)是定义在R上的偶函数，f(x)在[0，＋∞)上为增函数，且f(－3)＝0，则不等式f(2x－1)<0的解集为( ) A．(－1，2) B．(－∞，－1)∪(2，＋∞) C．(－∞，2) D．(－1，＋∞) 解析：因为f(－3)＝0，且该函数为偶函数，所以f(3)＝f(－3)＝0，所以不等式f(2x－1)<0等价于f(2x－1)0， 所以f(－x)＝(－x)2－2·(－x)＝x2＋2x. 又因为y＝f(x)是R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)． 所以f(x)＝－f(－x)＝－x2－2x， 所以f(x)＝ 答案：f(x)＝ 7．已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，且f(－1)＝2，则f(0)＋f(1)＝_____． 解析：因为f(x)为R上的奇函数， 所以f(0)＝0，f(1)＝－f(－1)＝－2， 所以f(0)＋f(1)＝0－2＝－2. 答案：－2 8．(2019·全国卷Ⅱ)已知f(x)是奇函数，且当x<0时，f(x)＝－eax.若f(ln 2)＝8，则a＝_____． 答案：－3 三、解答题 9．已知函数f(x)，x∈R，若对任意实数a，b都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)，求证：f(x)为奇函数． 证明：设a＝0，则f(b)＝f(0)＋f(b)， 所以f(0)＝0. 又设a＝－x，b＝x，则f(0)＝f(－x)＋f(x)． 所以f(－x)＝－f(x)． 所以f(x)为奇函数． 10．已知f(x)＝是定义在(－∞，b－3]∪[b－1，＋∞)上的奇函数． (1)若f(2)＝3，求a，b的值； (2)若f(－1)＝0，求函数f(x)在区间[2，4]上的值域． 解：(1)由题意得，b－3＋b－1＝0，所以b＝2， 所以f(x)＝，因为f(2)＝3，所以＝3， 所以a＝1. (2)因为f(－1)＝0，所以a＝－2， 所以f(x)＝＝－2x＋. 因为函数y＝－2x和y＝在区间[2，4]上都单调递减， 所以函数f(x)在区间[2，4]上单调递减， 所以在区间[2，4]上，f(x)max＝f(2)＝－3， f(x)min＝f(4)＝－，所以函数f(x)在区间[2，4]上的值域为. B级 能力提升 1．已知函数y＝f(x)是R上的偶函数，且f(x)在[0，＋∞)上是减函数，若f(a)≥f(－2)，则a的取值范围是( ) A．a≤－2 B．a≥2 C．a≤－2或a≥2 D．－2≤a≤2 解析：由已知，得函数y＝f(x)在(－∞，0)上是增函数，若a<0，由f(a)≥f(－2)得a≥－2；若a≥0，由已知可得f(a)≥f(－2)＝f(2)，a≤2.综上知－2≤a≤2. 答案：D 2.已知y＝f(x)是偶函数，y＝g(x)是奇函数，它们的定义域都是[－3，3]，且它们在[0，3]上的图象如图所示，则不等式<0的解集是_____． 解析：由题知，y＝f(x)是 ... ...
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