1.3.2函数的奇偶性（教师版）

函数的奇偶性 _____ _____ 理解函数的奇偶性及其图像特征； 能够简单应用函数的奇偶性及其图像特征； 一、函数奇偶性定义 1、图形描述： 函数的图像关于轴对称为偶函数； 函数的图像关于原点轴对称为奇函数 定量描述 一般地，如果对于函数的定义域内任意一个，都有，则称为偶函数；如果都有，则称为奇函数；如果与同时成立，那么函数既是奇函数又是偶函数；如果与都不能成立，那么函数既不是奇函数又不是偶函数，称为非奇非偶函数。 　 如果函数是奇函数或偶函数，则称函数具有奇偶性。 特别提醒： 1、函数具有奇偶性的必要条件是：函数的定义域在数轴上所表示的区间关于原点对称。换言之，若所给函数的定义域不关于原点对称，则这个函数一定不具备奇偶性。2、用函数奇偶性的定义判断函数是否具有奇偶性的一般步骤：（1）考察函数的定义域是否关于原点对称。若不对称，可直接判定该函数不具有奇偶性；若对称，则进入第二步；（2）判断与这两个等式的成立情况，根据定义来判定该函数的奇偶性。 二、函数具有奇偶性的几个结论 1、是偶函数的图像关于轴对称；是奇函数的图像关于原点对称。 2、奇函数在有定义，必有。 3、偶函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同。 4、是定义域为且要关于原点对称，那么就有以下结论： 奇奇奇 偶偶偶 奇奇偶 偶偶偶 奇偶奇 5、复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”。 6、多项整式函数的奇偶性 多项式函数是奇函数的偶次项的系数和常数项全为零； 多项式函数是偶函数的奇次项的系数全为零。 类型一 函数奇偶性的判断 例1：判断下列函数是否具有奇偶性： (1)f(x)＝2x4＋3x2； (2)f(x)＝＋x； 解析：(1)函数f(x)的定义域为R， 又∵f(－x)＝2(－x)4＋3(－x)2 ＝2x4＋3x2＝f(x)， ∴函数f(x)＝2x4＋3x2是偶函数． (2)函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)， 又∵f(－x)＝－x＝－(＋x)＝－f(x)， ∴函数f(x)＝＋x是奇函数． 答案：（1）偶函数 （2）奇函数 练习1：判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝x2＋1； (2)f(x)＝|x＋1|－|x－1|； 答案：（1）偶函数 （2）奇函数 练习2： 下列函数中，既是奇函数又是增函数的是(　　) A．y＝x＋1　　　　　 B．y＝－x2 C．y＝ D．y＝x|x| 答案：D 类型二 分段函数奇偶性的判定 例2：用定义判断函数f(x)＝的奇偶性． 解析：任取x>0，则－x<0. ∴f(－x)＝(－x)2－1＝x2－1 ＝－(－x2＋1)＝－f(x)． 又任取x<0，则－x>0. ∴f(－x)＝－(－x)2＋1＝－x2＋1 ＝－(x2－1)＝－f(x)． 对x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)都有f(－x)＝－f(x)成立．∴函数f(x)为奇函数． 答案：奇函数 练习1：判断函数f(x)＝的奇偶性． 答案：奇函数. 练习2：如果F(x)＝是奇函数，则f(x)＝_____.的单调性 答案：2x＋3 类型三 利用奇(偶)函数图象的对称特征，求关于原点对称的区间上的解析式 例3：若f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝x(1－x)，求：当x≥0时，函数f(x) 的解析式． 解析：当x>0时，－x<0， ∵当x<0时，f(x)＝x(1－x)， ∴f(－x)＝－x(1＋x)， 又f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)， ∴－f(x)＝－x(1＋x)，∴f(x)＝x(1＋x)， 又f(0)＝f(－0)＝－f(0)，∴f(0)＝0， ∴当x≥0时，f(x)＝x(1＋x)． 答案：x(1＋x) 练习1： 已知函数f(x)是R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝2x＋1，则函数f(x)的解析式为_____． 答案：　f(x)＝ 练习2： 函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝－x＋1，则当x<0时，f(x)的表达式为(　　) A．f(x)＝x＋1 B．f(x)＝x－1 C．f(x)＝－x＋1 D．f(x)＝－x－1 答案：D 类型四 抽象函数奇偶性的证明 例4：已知函数y＝f(x)(x∈R)，若对于任意实数a、b都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)，求证 ... ...