3.1函数与方程（教师版）

函数与方程 _____ _____ 掌握函数的零点和二分法的定义． 会用二分法求函数零点的近似值。 一、函数的零点： 定义：一般地，如果函数在实数处的值等于零即，则叫做这个函数的零点。对于任意函数，只要它的图像是连续不间断的，其函数的零点具有下列性质：当它通过零点（不是偶次零点）时函数值变号；相邻两个零点之间的所有的所有函数值保持同号。 特别提醒： 函数零点个数的确定方法： 1、判断二次函数的零点个数一般由判别式的情况完成； 2、对于二次函数在某个闭区间上零点的个数以及不能用判别式判断的二次函数的零点，则要结合二次函数的图像进行； 3、对于一般函数零点的个数的判断问题不仅要在闭区间上是连续不间断的，且f(a)f（b）＜0，还必须结合函数的图像和性质才能确定。函数有多少个零点就是其对应的方程有多少个实数解。 二、二分法： 定义：对于区间上连续的，且的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，从而等到零点近似值的方法，叫做二分法。 特别提醒： 用二分法求函数零点的近似值 第一步：确定区间，验证：f(a)f（b）＜0，给定精确度； 第二步：求区间得中点； 第三步：计算；若=0，则就是函数零点；若f(a)f（）＜0，则令；若f()f（b）＜0，则令 第四步：判断是否达到精确度，即若，则得到零点近似值，否则重复第二、 三、四步。 类型一求函数的零点 例1：求函数y＝x－1的零点： 解析：令y＝x－1＝0，得x＝1， ∴函数y＝x－1的零点是1. 答案：1 练习1：求函数y＝x3－x2－4x＋4的零点． 答案：－2,1,2. 练习2：函数f(x)＝2x＋7的零点为(　　) A．7 B． C．－ D．－7 答案：C 类型二 零点个数的判断 例2：判断函数f(x)＝x2－7x＋12的零点个数 解析：由f(x)＝0，即x2－7x＋12＝0得 Δ＝49－4×12＝1>0， ∴方程x2－7x＋12＝0有两个不相等的实数根3,4， ∴函数f(x)有两个零点，分别是3,4. 答案：2个 练习1：二次函数y＝ax2＋bx＋c中，a·c<0，则函数的零点个数是(　　) A．1个 B．2个 C．0个 D．无法确定 答案：B 练习2：已知二次函数f(x)＝ax2＋6x－1有两个不同的零点，则实数a的取值范围是(　　) A．a>－9且a≠0 B．a>－9 C．a<－9 D．a>0或a<0 答案：A 类型三 函数零点的应用 例3：若关于x的方程x2＋(k－2)x＋2k－1＝0的两实数根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，求实数k的取值范围． 解析：设函数f(x)＝x2＋(k－2)x＋2k－1，先画出函数的简图，如图所示，函数f(x)＝x2＋(k－2)x＋2k－1的图象开口向上，零点x1∈(0,1)，x2∈(1,2)， 由， 解得，0，可取区间[1,2]作为计算的初始区间．用二分法逐次计算，列表如下： 端点(中点)坐标 计算中点的函数值 取区间 a0＝1，b0＝2 f(1)＝－6，f(2)＝4 [1,2] x1＝＝1.5 f(x1) ... ...