2020版高考理科数学（经典版）复习-高考大题冲关系列(3)　高考中数列问题的热点题型 (2份打包)

命题动向：从近五年高考试题分析来看，等差、等比数列是重要的数列类型，高考考查的主要知识点有：等差、等比数列的概念、性质、前n项和公式．由于数列的渗透力很强，它和函数、方程、向量、三角形、不等式等知识相互联系，优化组合，无形中加大了综合的力度．解决此类题目，必须对蕴藏在数列概念和方法中的数学思想有较深的理解． 题型1　等差、等比数列的综合运算 例1　(2018·天津高考)设{an}是等差数列，其前n项和为Sn(n∈N*)；{bn}是等比数列，公比大于0，其前n项和为Tn(n∈N*)．已知b1＝1，b3＝b2＋2，b4＝a3＋a5，b5＝a4＋2a6. (1)求Sn和Tn； (2)若Sn＋(T1＋T2＋…＋Tn)＝an＋4bn，求正整数n的值． 解　(1)设等比数列{bn}的公比为q.由b1＝1，b3＝b2＋2，可得q2－q－2＝0.因为q>0，可得q＝2，故bn＝2n－1，所以Tn＝＝2n－1. 设等差数列{an}的公差为d.由b4＝a3＋a5， 可得a1＋3d＝4. 由b5＝a4＋2a6，可得3a1＋13d＝16，从而a1＝1，d＝1，故an＝n，所以Sn＝. (2)由(1)，有T1＋T2＋…＋Tn＝(21＋22＋…＋2n)－n＝－n＝2n＋1－n－2. 由Sn＋(T1＋T2＋…＋Tn)＝an＋4bn可得 ＋2n＋1－n－2＝n＋2n＋1， 整理得n2－3n－4＝0，解得n＝－1(舍去)或n＝4. 所以n的值为4. [冲关策略]　解决由等差数列、等比数列组成的综合问题，首先要根据两数列的概念，设出相应的基本量，然后充分使用通项公式、求和公式、数列的性质等确定基本量．解综合题的关键在于审清题目，弄懂来龙去脉，揭示问题的内在联系和隐含条件． 变式训练1　已知数列{an}的前n项和为Sn，数列是首项为1，公差为2的等差数列． (1)求数列{an}的通项公式； (2)设数列{bn}满足＋＋…＋＝5－(4n＋5)·n，求数列{bn}的前n项和Tn. 解　(1)因为数列是首项为1，公差为2的等差数列， 所以＝1＋2(n－1)＝2n－1，所以Sn＝2n2－n. 当n＝1时，a1＝S1＝1； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－n)－[2(n－1)2－(n－1)]＝4n－3. 当n＝1时，a1＝1也符合上式， 所以数列{an}的通项公式为an＝4n－3. (2)当n＝1时，＝，所以b1＝2a1＝2. 当n≥2时，由＋＋…＋＝5－(4n＋5)n，① 得＋＋…＋＝5－(4n＋1)n－1.② ①－②，得＝(4n－3)n. 因为an＝4n－3，所以bn＝＝2n(当n＝1时也符合)， 所以＝＝2，所以数列{bn}是首项为2，公比为2的等比数列，所以Tn＝＝2n＋1－2. 题型2　数列的通项与求和 例2　(2018·浙江高考)已知等比数列{an}的公比q>1，且a3＋a4＋a5＝28，a4＋2是a3，a5的等差中项．数列{bn}满足b1＝1，数列{(bn＋1－bn)an}的前n项和为2n2＋n. (1)求q的值； (2)求数列{bn}的通项公式． 解　(1)由a4 ＋2是a3，a5的等差中项得a3＋a5＝2a4＋4， 所以a3＋a4＋a5＝3a4＋4＝28， 解得a4＝8. 由a3＋a5＝20得8＝20， 解得q＝2或q＝， 因为q>1，所以q＝2. (2)设cn＝(bn＋1－bn)an，数列{cn}前n项和为Sn. 由cn＝解得cn＝4n－1. 由(1)可知an＝2n－1， 所以bn＋1－bn＝(4n－1)·n－1， 故bn－bn－1＝(4n－5)·n－2，n≥2， bn－b1＝(bn－bn－1)＋(bn－1－bn－2)＋…＋(b3－b2)＋(b2－b1)＝(4n－5)·n－2＋(4n－9)·n－3＋…＋7·＋3. 设Tn＝3＋7·＋11·2＋…＋(4n－5)·n－2，n≥2， Tn＝3·＋7·2＋…＋(4n－9)·n－2＋(4n－5)·n－1， 所以Tn＝3＋4·＋4·2＋…＋4·n－2－(4n－5)·n－1， 因此Tn＝14－(4n＋3)·n－2，n≥2， 又b1＝1，所以bn＝15－(4n＋3)·n－2(n∈N*)． [冲关策略]　(1)一般求数列的通项往往要构造数列，此时要从证的结论出发，这是很重要的解题信息． (2)根据数列的特点选择合适的求和方法，常用的有错位相减法，分组求和法，裂项求和法等． 变式训练2　(2019·河南平顶山模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝－2，且满足Sn＝an＋1＋n＋1(n∈N*)． (1)求数列{an}的通项公式； (2) ... ...