命题动向：从近五年的高考试题来看，圆锥曲线问题在高考中属于必考内容，并且常常在同一份试卷上多题型考查．对圆锥曲线的考查在解答题部分主要体现以下考法：第一问一般是先求圆锥曲线的方程或离心率等较基础的知识；第二问往往涉及定点、定值、最值、取值范围等探究性问题，解决此类问题的关键是通过联立方程来解决． 题型1 最值、范围问题 角度1 最值问题 例1 (2019·陕西联考)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1和F2，由4个点M(－a，b)，N(a，b)，F2和F1构成一个高为，面积为3的等腰梯形． (1)求椭圆的方程； (2)过点F1的直线和椭圆交于A，B两点，求△F2AB面积的最大值． 解 (1)由条件得b＝，且·＝3， ∴a＋c＝3. 又a2－c2＝3，解得a＝2，c＝1. ∴椭圆的方程为＋＝1. (2)显然，直线AB的斜率不能为0. 设直线AB的方程为x＝my－1，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立消去x得(3m2＋4)y2－6my－9＝0. ∵直线AB过椭圆内的点F1， ∴无论m为何值，直线和椭圆总相交， 又y1＋y2＝，y1y2＝－， ∴S△F2AB＝|F1F2||y1－y2|＝|y1－y2| ＝ ＝12 ＝4 ＝4. 令t＝m2＋1≥1，设f(t)＝t＋， 易知t∈时，函数f(t)单调递减，t∈时，函数f(x)单调递增， ∴当t＝m2＋1＝1，即m＝0时，f(t)min＝，S△F2AB取得最大值3. [冲关策略] 处理圆锥曲线最值问题的求解方法 圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解． 变式训练1 (2019·河南郑州联考)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，以F1F2为直径的圆与直线ax＋2by－ab＝0相切． (1)求椭圆C的离心率； (2)如图，过F1作直线l与椭圆分别交于两点P，Q，若△PQF2的周长为4，求·的最大值． 解 (1)由题意，得＝c， ∴3a2b2＝c2(a2＋4b2)， 化简得(a2＋2b2)(a2－2b2)＝0. ∴a2＝2b2，∴＝，∴e＝＝. (2)∵△PQF2的周长为4，∴4a＝4， ∴a＝，∴b2＝1. ∴椭圆C的方程为＋y2＝1， 且焦点F1(－1,0)，F2(1,0)． ①若直线l的斜率不存在，则l的方程为x＝－1. 解方程组得或 设P，Q，则＝，＝，∴·＝. ②若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x＋1)． 由消去y并整理，得 (2k2＋1)x2＋4k2x＋2k2－2＝0. 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 则x1＋x2＝－，x1x2＝. ∴·＝(x1－1，y1)·(x2－1，y2) ＝(x1－1)(x2－1)＋y1y2 ＝(k2＋1)x1x2＋(k2－1)(x1＋x2)＋k2＋1 ＝(k2＋1)＋(k2－1)＋k2＋1 ＝＝－. ∵k2>0，∴－1<·<. 综上，－1<·≤. ∴·的最大值是. 角度2 范围问题 例2 (2018·浙江高考)如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y2＝4x上存在不同的两点，A，B满足PA，PB的中点均在C上． (1)设AB的中点为M，证明：PM垂直于y轴； (2)若P是半椭圆x2＋＝1(x<0)上的动点，求△PAB面积的取值范围． 解 (1)设P(x0，y0)，A，B. 因为PA，PB的中点在抛物线上，所以y1，y2为方程2＝4·即y2－2y0y＋8x0－y＝0的两个不同的实数根． 所以y1＋y2＝2y0.因此，PM垂直于y轴． (2)由(1)可知 所以|PM|＝(y＋y)－x0＝y－3x0，|y1－y2|＝2. 因此，△PAB的面积S△PAB＝|PM|·|y1－y2|＝(y－4x0) eq \s\up55( ) . 因为x＋＝1(x0<0)， 所以y－4x0＝－4x－4x0＋4∈[4,5]． 因此，△PAB面积的取值范围是. [冲关策略] 圆锥曲线中取值范围问题的五种常用解法 (1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围． (2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解决这类问题的核心是建立两个参 ... ...
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